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Considérons alors un point $\mathrm {M}$ de la courbe que nous rapprocherons de plus en plus du point $\mathrm {M} _{0}$ correspondant à l’abscisse $x_{0}.$ Lorsque la valeur absolue de $y'$ est arbitrairement grande, la direction de la tangente définie au n^o 554, — ayant un coefficient angulaire arbitrairement grand — se rapproche arbitrairement de la direction parallèle à l’axe des $y.$ Nous en concluons qu’aux points de la courbe représentative où la dérivée a une valeur infinie, la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des $y.$

4. Les équations différentielles du premier ordre

561. — Considérons une équations différentielle du premier ordre (vide 472) :

(1)

$\operatorname {F} (x,y,y')=0$

ou, en résolvant^[1] par rapport à $y'\,:$

(1 bis)

$y'=f(x,y).$

Nous avons vu que, lorsqu’elle est intégrable (voir 478) cette équation a une infinité de solutions (ou intégrales particulières) qui sont des fonctions de $x\,:$ en particulier, si l’on se donne un système de valeurs (arbitraires), $x_{0}$ et $y_{0}$ des variables $x$ et $y,$ il existe en général une et une seule fonction $y=f(x)$ solution de l’équation (1), prenant pour $x=x_{0}$ la valeur $y=y_{0}$ [intégrale déterminée par les conditions initiales $x_{0},y_{0}$ (voir 477)].

Pour interpréter géométriquement ces faits, envisageons la courbe représentative d’une quelconque des fonctions $y=f(x)$ qui sont solutions de l’équation (1) : on voit que cette courbe peut être caractérisée par la propriété suivante : le coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque de la courbe est déterminé par les valeurs des coordonnées du point, conformément à la relation (1). Ainsi la courbe — que l’on appelle souvent, pour abréger, courbe intégrale de l’équation différentielle — se trouve

1. Cf. p. 446, note i.