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définie comme lieu géométrique de points jouissant d’une mème propriété.

562. — La détermination géométrique de la courbe intégrale comme lieu est le problème que l’on appelait an xvii^e siècle problème inverse des tangentes. Il s’agit, non plus comme au n^o 555 de déterminer la tangente en un point quelconque d’un point d’une courbe, donnée, mais, inversement de déterminer la courbe, étant connue la tangente en un point quelconque. Ce problème fut posé par Florimond de Beaune en l’année 1637 et chaque inventeur de « règles pour les tangentes »^[1] d’en chercher aussitôt les « converses »^[2]. Malheureusement l’équation particulière dont Beaune proposait spécialement l’étude présentait une difficulté assez déconcertante.

C’était l’équation que nous écririons aujourd’hui $u'={\frac {x-u}{a}}$ (en appelant $u$ la fonction inconnue). Opérant le changement de variable $y=u+a-x,$ (vide n^o 480. Descartes^[3] la transforma en l’équation ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{a}},$ que nous pouvons écrire :

${\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{a}}.$

En intégrant, nous avons : $\log y=-{\frac {x}{a}}+c,$ d’où l’intégrale générale^[4] $y=c_{1}e^{-{\frac {x}{a}}}$ $(c_{1}$ constante arbitraire).

Les fonctions $y$ ainsi définies sont, on le voit des fonctions transcendantes, et les courbes représentatives sont du type de la courbe exponentielle.

Or ces courbes ne sont pas de celles que Descartes étudiait

1. Voir p. 521, note i.
2. Voir en particulier la lettre de Descartes à Beaune du 20 février 1639 ((Œuv. de Descartes, t. II, p. 510 et la note de Paul Tannery, ibid., p. 520 sqq.
3. Descartes remplace en outre la variable $x$ par la variable $x_{1},$ égale à ${\sqrt {2}}x\,;$ nous pouvons nous dispenser de faire ce second changement de variable,
4. Vide, n^o 558 ; en particulier si $a=-1,$ l’intégrale particulière pour laquelle $c_{1}=1$ est représentée par la courbé même que nous avons figurée (fig. 206).