D’où la règle : La racine
ième ou racine d’ordre
de la fraction
est la fraction
on peut donc écrire
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\frac {\mathrm {M} }{m}}}={\frac {\sqrt[{p}]{\mathrm {M} }}{\sqrt[{p}]{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55db5c6f9fb0e8d8f3b59c0559b6ceb330877a69)
L’extraction (exacte) de la racine
ième d’une fraction est-elle une opération toujours possible ? Pour qu’il en fût ainsi il faudrait qu’il existât toujours une fraction dont la puissance
ième fûtM égale à
Or un exemple très simple va montrer que cela n’est pas.
Je dis qu’il n’existe pas de fraction dont le carré soit égal à
(d’où il résulte que l’extraction exacte de la racine carrée de
est une opération impossible). Supposons en effet qu’il existe une fraction
telle que
J’ai le droit de supposer (no 32 que l’on a réduit la fraction à une fraction irréductible, en sorte que
et
sont premiers entre eux (no 24). J’ai, par hypothèse,
donc
et par suite
est un nombre pair[1] ; et, puisque
et
sont premiers entre eux,
doit être un nombre impair. Mais appelons
le nombre
(ce nombre est entier puisque
est pair) : j’ai
et, par conséquent
donc
est pair, ce qui exige que
soit pair (note 1). Ainsi, en admettant qu’il existe une fraction
égale à
nous aboutissons à cette conclusion que le nombre
est à la fois impair et pair. Conclusion absurde qui nous oblige à rejeter notre hypothèse.
La démonstration qui précède est donnée par Euclide au livre X de ses Éléments, et s’il faut en croire Aristote[2], elle aurait déjà été connue de Pythagore, Elle nous apprend qu’en général les
- ↑ Le carré d’un nombre impair est nécessairement un nombre impair ; en effet, la décomposition de ce carré en facteurs premiers ne peut (pas plus que le nombre lui-même) contenir le facteur
Donc si
est pair,
l’est aussi.
- ↑ Cf. Castor, Vorlesungen, I, p. 170.