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D’après la règle qui précède, toute division de fraction se ramène à une multiplication. La division d’une fraction est donc, comme la multiplication, une opération univoque et toujours possible. Nous n’avons pas à distinguer, dans la théorie des fractions, entre une division exacte et une division approchée, comme nous l’avons fait pour les nombres entiers : le quotient d’une fraction par une autre est toujours un quotient exact.

Considérons, en particulier, la division de $1$ par la fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}.$ Le quotient est la fraction retournée ${\frac {m}{\mathrm {M} }}\,:$ on l’appelle inverse de la fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}.$ D’après cette définition l’inverse d’un nombre entier $m$ est la fraction ${\frac {1}{m}}$ de numérateur $1.$

35. – Nous n’avons envisagé ci-dessus que la multiplication de deux fractions. Soit maintenant donné un nombre quelconque de fractions dont chacune sera, pour simplifier, représentée par une seule lettre $a,$ ou $b,$ ou $c,\ldots$ Ayant défini le produit $(a\times b)$ nous pourrons définir, de la même manière qu’au § 2, le produit (ou la multiplication) d’un nombre quelconque d’éléments, $a,b,c,\ldots$ La multiplication sera toujours une opération commutative, associative et distributive (vide supra, n^o 7).

36. Elévation aux puissances. – Nous ne définirons, pour l’instant, que l’élévation d’une fraction (quelconque) à une puissance entière.

Soit $p$ un exposant entier. L’élévation à la puissance $p$ n’étant qu’une combinaison de multiplications (n^o 9) nous pouvons déduire du n^o 34 la règle suivante : la puissance $p$^ème de la fraction ${\frac {\mathrm {M} }{m}}$ est la fraction ${\frac {\mathrm {M} ^{p}}{m^{p}}}\,:$ nous écrirons donc

$\left({\frac {\mathrm {M} }{m}}\right)^{p}={\frac {\mathrm {M} ^{p}}{m^{p}}}.$

On vérifie sans peine que les puissances des fractions jouissent des propriétés distributives et associatives énoncées au n^o 9.

37. Extraction des racines. – L’extraction des racines est l’opération inverse de l’élévation aux puissances (vide supra, n^o 10).