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soit rectiligne, ce qui revient à assimiler un petit arc de courbe $\mathrm {M_{0}M}$ à un segment de la tangente $\mathrm {M_{0}M_{1}}$ (assimilation d’autant moins éloignée de la vérité que l’arc est plus petit). En d’autres termes prenons sur la tangente $\mathrm {M_{0}T_{0}} ,$ an point $\mathrm {M} _{1},$ (de coordonnées $x_{1},y_{1})$

fig. 107                                                       fig. 108

très approché de $\mathrm {M_{0}} ,$ (fig. 208) et admettons que notre courbe intégrale passe par ce point. S’ilen est ainsi, elle devra avoir, en ce point, une tangente dont le coefficient angulaire est $y'_{1}=f(x_{1},y_{1})\,;$ soit $\mathrm {M_{1}T_{1}} ,$ cette tangente ; prenons sur elle un point $\mathrm {M} _{2}$ (de coordonnées $x_{2},y_{2})$ très rapproché de $\mathrm {M} _{1}$ ; et admettons que notre courbe intégrale passjur ce point ; le courbe devra avoir, en $\mathrm {M} _{2}$ une tangente dont le coefficient angulaire est $y'_{2}=f(x_{2},y_{2})\,;$ ainsi de suite.

Nous obtenons ainsi une ligne brisée $\mathrm {M_{0}M_{1}M_{2}M_{3}} ,\ldots$ dont la figure se rapproche d’autant plus d’une ligne courbe que les segments $\mathrm {M_{0}M_{1}} ,$ $\mathrm {M_{1}M_{2}} ,\ldots$ sont plus petits. D’ailleurs si nous regardons cette ligne comme une courbe ayant pour tangentes aux points successifs $\mathrm {M_{0},\,M_{1}} ,$ les droites $\mathrm {M_{0}T_{0}} ,$ $\mathrm {M_{1}T_{1}} ,\ldots$ cette courbe satisfera bien en tous les points $\mathrm {M} _{0},\,\mathrm {M} _{1},\ldots$ à la condition posée par l’équation différentielle (1). Nous pouvons donc la considérer comme représentant approximativement (avec une approximation arbitrairement grande) une courbe intégrale de notre équation^[1].

Observons d’ailleurs que le choix du point $\mathrm {M_{0}}$ d’où nous sommes partis est absolument arbitraire. Nous pourrons donc construire

1. Ce mode de construction qui consiste à remplacer la courbe par un contour formé de petites ligne (lineolæ) fut indiqué par Jean Bernouilli en 1694 (Modus generalis construendi omnes æquationes differentiales primi gradus, ap. Acta eruditorum, novembre 1694 ; Œuv., t. I. p. 123 et suiv.). Déjà Leibniz en avait eu l’idée dès 1675.