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une infinité de courbes intégrales. [Plus précisément, par tout point du plan nous en pouvons faire passer une].

565. — La construction que nous venons d’indiquer constitue ce que l’on appelle une méthode graphique de résolution des équations différentielles. La simplicité de cette construction nous inspire immédiatement une idée : ne pourrait-on pas se fonder sur elle, non seulement pour représenter les intégrales des équations, mais pour en démontrer l’existence ? Il est, on l’a vu, un grand nombre d’équations différentielles que nous sommes incapables d’intégrer (au sens du n^o 478) : cela étant, rien, dans l’état actuel de nos connaissances, ne nous autorise à affirmer à l’avance que ces équations ont effectivement des solutions ou intégrales : cependant nous pouvons toujours leur appliquer la méthode de résolution graphique décrite ci-dessus. et cette méthode nous conduira toujours à une ligne brisée $\mathrm {M_{0},M_{1}} ,\ldots$ qui se rapprochera arbitrairement d’une courbe^[1] lorsque ses côtés seront arbitrairement petits. [C’est un fait intuitivement évident qu’il en est bien ainsi, du moins lorsque $f(x,y)$ est une fonction continue de $x$ et $y].$ Ne pouvons-nous, dès lors, considérer la position-limite prise par la ligne brisée $\mathrm {M_{0}M_{1}} ,\ldots$ (lorsque la longueur de ses côtés tend vers zéro) comme une courbe intégrale, et démontrer rigoureusement que la fonction représentée par cette courbe est une solution de notre équation ?

Hâtons-nous de dire que ce mode de démonstration a été effectivement utilisé et qu’il est aujourd’hui passé dans la pratique courante. Mais l’exemple du problème de Beaune (562); nous montre que des difficultés, alors insurmontables, devaient arrêter au xvii^e siècle ceux qui auraient voulu l’employer. Le raisonnement que nous avons esquissé soulève en effet deux questions préalables auxquelles il n’était alors pas possible de répondre : Sous quelles conditions une ligne tracée sur Le papier est-elle une courbe géométrique, et sous quelles conditions une courbe représente-t-elle une fonction ?

1. Je prends ici le mot « courbe » dans son sens le plus général ligne tracée d’un trait continu.