ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES 537
f*x( = 0, f'(x) = 0, que l'on est amené à considérer pour étudier l'équation f(x) = 0. Le théorème fondamental énoncé par Rolle peut être formulé en ces termes :
Suit f(x) une fonction que l'on considère à l'intérieur d'un intervalle a, b, où elle est continue ainsi que sa dérivée f'(x). Entre deux racines consécutives (1) α et β de la dérivée, appartenant à l’intervalle a, b , il existe au plus une racine de fonction. — Entre deux racines consécutives de f(x) dans l'intervalle a, b, il y a au moins une racine de f'(x).
En effet, par hypothèse, lorsque x croit entre α et Β. la dérivée f'(x) ne s’annule pas, et conserve donc le même signe : la fonction ne cesse pas de croître ou de décroître : donc la courbe repré
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sentative ne peut franchir qu’une fois l’axe des x ; pour savoir si elle le franchit ou non, il suffira de voir si ses extrémités sont de part et d’autre ou du même côté de l’axe des x, — c’est-à -dire si f(α) et f(β) ont des signes contraires (comme sur la fig. 214) ou le même signe (comme sur la fig. 215). Si f(α) ou f(β) était nul, — c’est-à-dire si le nombre α ou β était racine de f(x) — la courbe ne pourrait en tout cas pas rencontrer l’axe en un second point d’abscisse comprise entre α et β (*). Considérons, d’autre part, deux racines consécutives de f(x) : il y a sûrement entre elles un maximum ou un minimum [donc une racine de f(x) , puisque la courbe, suivie avec continuité d’une racine à l’autre, part de l’axe des x pour y revenir.
573. Remarque. — Il résulte du théorème de Rolle que si une équation de degré n a n racines réelles, x1, ... ,xn. l’équation déri-
(1) Par « racine de f(x)» nous entendons « racine de l’équation f(x) = 0 » ref 359. — Deux racines consécutives sont deux racines entre lesquelles ne s’en trouve située aucune autre.
(2) Le nombre α ou β , est d'ailleurs, en ce cas, racine multiple de f(x). Voir n° {31].
