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l’équation $f(x)=0$ revient à la détermination des points de rencontre de l’axe des $x$ avec la courbe représentative de $f(x).$

Partant de cette remarque, nous allons nous servir de la figuration de $f(x)$ pour compléter les résultats auxquels nous a conduits l’étude algébrique des équations.

572. Théorème de Rolle. — Lorsqu’on ne peut pas calculer la valeur exacte d’une racine inconnue d’une équation, il convient d’en chercher une valeur approchée : on s’efforcera donc de déterminer un intervalle $\alpha ,\beta$ qui comprenne sûrement la valeur $\xi$ de la racine cherchée (c’est-à-dire soit tel que $\alpha <\xi <\beta ),$ et ne contienne d’ailleurs aucune autre racine de l’équation.

Les valeurs $\alpha$ et $\beta$ (extrémités de l’intervalle) sont deux valeur approchées^[1] de $\xi ,$ l’une par défaut, l’autre par excès : nous dirons que $\alpha$ est une limite inférieure, et $\beta$ une limite supérieure de la valeur $\xi .$ Plus l’intervalle $\alpha ,\beta$ sera petit, plus grande sera l’approximation avec laquelle il déterminera l’inconnue $\xi .$

La recherche d’intervalle $\alpha ,\beta$ aussi petit que possible comprenant chacun une racine et une seule d’une équation donnée quelconque, algébrique ou transcendante, se trouve être ainsi le problème fondamental d’où dépend la résolution approximative des équations. Ce problème fut approfondi par les algébristes de la fin du xvii^e siècle.

Dans le traité^[2] qu’il publie en 1690, Michel Rolle insiste, le premier, sur la relation qu’il y a entre les racines d’une équation $f(x)=0$ et les racines de l’équation $f'(x)=0$ (équation dérivée dirons-nous, cf., 421). Si $f(x)$ est un polynôme, $f'(x)$ est un polynôme de degré moindre ; il y a donc avantage à ramener, comme le fait Rolle, l’étude de l’équation proposée à celle de l’équation dérivée. D’ailleurs les remarques de Rolle permettent de ramener à son tour l’étude de l’équation $f'(x)=0$ à celle de l’équation de degré moindre $f''(x)=0\,;$ et ainsi de suite. D’où le nom de cascades^[3] donné par Rolle à la suite des équations

1. C’est pourquoi Rolle les appelle des hypothèses (ouv. cité à la note suivante : liv. second, chap. iii, p. 103.
2. Traité d’algèbre ou Principes généraux pour résoudre les questions de mathématique, par M. Rolle, Paris, 1690,
3. Loc. cit., liv. second, chap. vi, p. 125.