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fraction ${\frac {\mathrm {M} \times 10}{m}}$ est elle-même la somme d’une partie entière $b$ et d’une fraction inférieure à $1.$ La fraction proposée est donc égale à la somme suivante :

$a+b$ dixièmes$+$fraction inférieure à ${\frac {1}{10}}.$

Nous pouvons aller plus loin, et décomposer la fraction proposée (quelle qu’elle soit) en la somme d’un nombre décimal et d’une fraction inférieure à ${\frac {1}{100}}$ ou à ${\frac {1}{1000}},$ etc. Le nombre décimal trouvé sera la valeur approchée de la fraction proposée à ${\frac {1}{100}}$ près, ou ${\frac {1}{1000}}$ près, ou, en général, à ${\frac {1}{10^{p}}}$ près |$p$ étant un nombre entier toi aussi grand que l’on voudra (arbitrairement grand)^[1]|.

Le procédé que nous venons d’employer pour trouver la valeur approchée d’une fraction montre que cette valeur est toujours inférieure à la fraction proposée ; nous dirons donc que c’est une valeur approchée par défaut. D’ailleurs, si nous augmentons d’une unité le dernier chiffre du nombre décimal écrit, nous aurons une valeur supérieure à la fraction proposée : ce sera la valeur approchée par excès de la fraction (à ${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},\ldots$ près).

47. La grande utilité pratique qu’a pour nous la considération des valeurs approchées tient au fait suivant : En remplaçant, dans les calculs, les fractions par leurs valeurs approchées, on obtient avec une « approximation arbitrairement grande » le résultat d’une opération quelconque^[2]. J’entends par là que le résultat obtenu – qui n’est pas le résultat exact, mais le résultat approché de l’opé-

1. Lorsque $p$ est très grand, $10^{p}$ est très grand, et ${\frac {1}{10^{p}}}$ est très petit |cf. 40-41|.
2. La notion d’« approximation arbitrairement grande » est liée à la notion de « limite » à laquelle nous ferons fréquemment appel dans les chapitres suivants : considérons les valeurs approchées d’une fraction à ${\frac {1}{10}}$ près, puis à ${\frac {1}{100}}$ près, puis à ${\frac {1}{1000}}$ près, et ainsi de suite : on dit que la suite indéfinie des valeurs approchées ainsi calculées a pour limite la valeur de la fraction.