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exemple le centième de mètre ou centimètre |la longueur du centimètre est telle que la mesure du mètre en centimètres soit égale à 100| : nous obtiendrons ainsi, suit une mesure exacte (en centimètres), soit une mesure approchée à un centimètre près de la longueur $\mathrm {AB} .$ Désignons par $m$ cette mesure : nous pourrons dire que la mesure de $\mathrm {AB}$ en mètres, est la fraction ${\frac {m}{100}}$ $m$ centièmes de mètres ; cette mesure est exacte ou approchée à ${\frac {1}{100}}$ près. Répétons le même raisonnement en prenant pour unité auxiliaire, non plus le centimètre, mais telle fraction du mêtre qu’il nous plaira. Si nous pouvons choisir le nombre entier $n$ de manière que le segment $\mathrm {AB}$ contienne un nombre exact de fois, — soit $m$ fois, — la $n$^ème partie de l’unité, la mesure du segment $\mathrm {AB} ,$ en mètres, sera donnée par une fraction ${\frac {m}{n}}\,:$ ce sera un nombre rationnel^[1]. Dans le cas contraire on constate, en raisonnant comme au n^o 48, que quel que soit $n,$ on peut former une fraction de dénominateur $n$ qui donne une mesure de $\mathrm {AB} ,$ approchée à ${\frac {1}{n}}$ près. En prenant $n$ arbitrairement grand on aura la mesure du segment $\mathrm {AB}$ avec une approximation arbitrairement grande.

62. Remarque. – Si nous nous servons, pour représenter les nombres, de la notation décimale, nous aurons avantage à n’utiliser que des nombres $n$ qui soient des puissances de $10,$ c’est-à-dire à toujours prendre comme unités auxiliaires (fractions de l’unité principale ou sous-unités le dixième, le centième, le millième, de l’unité principale. La mesure évaluée par rapport à l’une de c’es sous-unités donnera en effet, par rapport à l’unité principale, une mesure exprimée par un nombre décimal. Ainsi une longueur de $3\,465$ millimètres a pour mesures en mètres : $3{,}465.$

1. Lorsqu’une grandeur a pour mesure un nombre rationnel on dit que vette grandeur et l’unité sont commensurables (cf. Euclide, Élém., livre $\mathrm {X}$ : σομμετρα μεγέθη) ou que la grandeur est commensurable avec l’unité. Une grandeur non commensurable avec l’unité est dite incommensurable (ἀσύμμετρον) avec l’unité. Plusieurs grandeurs sont dites commensurables (entre elles) si chacune d’elles est commensurable avec l’une d’entre elles prise pour unité. S’il n’en est pas ainsi, les grandeurs sont incommensurables entre elles.