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une surface (surface recourbée, que l’on pourrait théoriquement appliquer sur un plan, et dont la grandeur est par conséquent comparable à la grandeur d’une surface plane telle que celle d’un carré, d’un polygone ou d’un cercle).

2. — Mesures. Longueur de la circonférence

61. Les mesures. — L’intérêt que présentent les caractères des grandeurs que notre § 1 a mis en lumière tient, comme on sait, au fait suivant ; on peut, grâce aux opérations que ces caractères rendent possibles, « mesurer » les grandeurs.

Considérons, par exemple, un segment rectiligne $\mathrm {AB} .$ Nous nous attachons à cette grandeur parce que c’est la plus simple de toutes (cf. n^o 53). Mais tout ce que nous allons en dire pourra être étendu aux divers types de grandeurs géométriques tels que angles, aires volumes, etc. (cf. § 3).

Pour mesurer le segment $\mathrm {AB} ,$ on prend comme unité une longueur fixe, par exemple un mètre et, à partir du point $\mathrm {A} ,$ on porte cette unité, bout à bout, autant de fois que possible sur le segment $\mathrm {AB} .$ Il peut se faire qu’après avoir porté l’unité un nombre exact, $m,$ de fois, on tombe exactement au point $\mathrm {B} \,;$ on dit alors que la longueur $\mathrm {AB}$ égale $m$ fois l’unité et qu’elle a pour mesure, en mètres, le nombre $m.$

Supposons, au contraire, que la longueur $\mathrm {AB}$ soit plus longue que $m$ fois l’unité et moins longue^[1] que $(m+1)$ fois l’unité : nous dirons en ce cas que $m$ est la mesure approchée par défaut en mètres de $\mathrm {AB} ,$ et que $(m+1)$ en est la mesure approchée par excès. Pour avoir de $\mathrm {AB}$ une mesure exacte, ou plus exacte, nous devrons prendre une nouvelle unité, plus petite que le mètre, par

1. Étant donnée une longueur quelconque $\mathrm {AB} ,$ il existe évidemment toujours un nombre $m$ tel que $m$ fois l’unité soit moindre que $\mathrm {AB}$ tandis que $(m+1)$ fois l’unité surpasse $\mathrm {AB} .$ C’est lå une vérité intuitive que nous ne saurions mettre en doute, mais dont nous ne pouvons cependant donner aucune démonstration. Cette vérité joue donc, dans les systèmes de géométrie, le rôle d’un axiome. Elle a été formulée en ces termes, vers 1880, par le professeur autrichien Stolz, sous le nom d’axiome d’Archimède : « Si deux longueurs sont données, il y a toujours un multiple [produit par un nombre entier] de la plus petite qui surpasse la plus grande ».