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définir la mesure exacte d’une grandeur quelconque (longueur, on angle, ou aire, etc.) comme une quantité qui est le résultat d’opérations arithmétiques^[1] effectuées sur l’unité (c’est-à-dire sur le nombre $1$ ) ? Si ces opérations sont toutes possibles, la mesure exacte se trouvera être le nombre rationnel défini au n^o 61. S’il y a, au contraire, parmi elles, des extractions de racines impossibles, la mesure exacte ne pourra pas être calculée, et l’on desra se contenter d’une mesure approchée, laquelle sera, précisément, le résultat approché des opérations qui définissent la mesure exacte.

Cette manière de présenter les choses est légitime dans certains cas, mais non point dans tous, ainsi qu’on le constate, par exemple, lorsqu’on cherche à déterminer la mesure d’une circonférence.

64. Longueur de la circonférence. – Considérons une circonférence (ou cercle)^[2] dont le rayon ait pour mesure l’unité (par exemple, $1$ mètre). Comment mesurer cette circonférence ?

Si l’on prend un mètre en ruban et qu’on l’applique sur le contour de la circonférence, on constatera que la longueur du contour n’est exactement égale à aucune fraction de métre. Cette longueur est comprise entre $6$ et $8$ mètres, plus précisément entre $2\times 3{,}1$ et $2\times 3{,}2,$ plus exactement encore, entre $2\times 3{,}14.$ et $2\times 3{,}15.$ Quelque loin, cependant, que l’on pousse la subdivision du mètre (en millimètres, dixièmes, centièmes de millimètres, etc.) on n’obtient jamais une mesure exacte de la circonférence : on en a seulement des mesures de plus en plus approchées.

Mais la mesure effective d’une circonférence au moyen d’un mètre flexible est une opération physique qui ne présente aucune

↑ Lorsqu’une mesure où une quantité est définie comme résultat de telles opérations, on dit qu’elle est calculable par radicaux.
↑ On appelle circonférence on cercle la ligné formée par l’ensemble des points situés à égale distance d’un même point appelé centre du cercle ; le segment de droite joignant le centre à un point quelconque de la circonférence s’appelle rayon (radius. Il est bon de noter que le mot circonférence désigné exclusivement le contour (περίμετρος) du cercle ; le mot cercle, au contraire, sert également à désigner la surface limitée par ce contour. Le segment (double du rayon) qui joint, en passant par le centre, deux points opposés de la circonférence (et la coupe en deux), s’appelle diamètre.

[1] Lorsqu’une mesure où une quantité est définie comme résultat de telles opérations, on dit qu’elle est calculable par radicaux.

[2] On appelle circonférence on cercle la ligné formée par l’ensemble des points situés à égale distance d’un même point appelé centre du cercle ; le segment de droite joignant le centre à un point quelconque de la circonférence s’appelle rayon (radius. Il est bon de noter que le mot circonférence désigné exclusivement le contour (περίμετρος) du cercle ; le mot cercle, au contraire, sert également à désigner la surface limitée par ce contour. Le segment (double du rayon) qui joint, en passant par le centre, deux points opposés de la circonférence (et la coupe en deux), s’appelle diamètre.

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