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et enfin

${\frac {b}{a}}\sin ^{2}\mathrm {A} =\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B}$,

${\frac {a}{b}}\sin ^{2}\mathrm {B} =\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B}$.

De ces deux dernières équations, on tire

${\frac {b\sin ^{2}\mathrm {A} }{a}}={\frac {a\sin ^{2}\mathrm {B} }{b}}$, xxxd’oùxxx$b\sin \mathrm {A} =a\sin \mathrm {B}$,

et enfin

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$.

En éliminant b de la même manière, on trouve

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}$.

et en éliminant c, on trouve

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$.

On arrive ainsi à trois équations contenant encore trois inconnues, et qui se réduisent en réalité aux deux équations
(6)                         ${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$,xxx${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}$.

Ainsi le problème est bien indéterminé ; on trouve seulement que les trois côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

50. On voit par ce qui précède que les relations (6) qui existent entre les côtés et les angles d’un triangle dérivent des relations (7).

Réciproquement, on peut facilement tirer les relations (7) des relations (6). En effet, on a en outre

$\mathrm {A+B+C=180^{\circ }}$.

L’angle C étant le supplément de A + B, on a (n^os 6 et 35).

(l)          $\sin \mathrm {C} =\sin(\mathrm {A+B} )=\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +\sin \mathrm {B} \cos \mathrm {A}$.