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CIIAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT d’uN LIQUIDE VISQUEUX. 87

Cette dernière parenthèse est égale à

— ’[" a ^. ^ ^ s^i -- s ^) * { )-^™( )]•

D’après les équations du mouvement lent, la seconde ligne est égale à

-•["(’^-S-’S)— ]■

Supposons que les forces extérieures dérivent d’un potentiel uniforme ${\mathcal {P}}$ par unité de masse, comme la pesanteur,

$X_{c}=-\rho {\frac {\partial {\mathcal {P}}}{\partial x}}$

celle seconde ligne peut s’écrire

Cela étant, formons la fonction de dissipation pour tout le volume occupé par le liquide, en nous rappelant que U, V, W sont supposés nuls à la surface limite ; il reste seulement

F-4-SF = r r /'r4>-hv-h’2(py ? f-/>)e

ox oy dz I 

Dans les mouvements lents, les variations de densité sont faibles et l’équation de continuité se réduit à

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \theta =0;$

le mouvement additionnel est soumis à la même restriction, et les termes $\left(U{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+\cdots \right)$ sont négligeables en facteur de ${\mathcal {P}}$.

Considérons un mouvement permanent et un mouvement additionnel qui conserve la permanence

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial t}}=0,\qquad \theta =0.$