Cette loi s’établit a priori ; et en même temps elle se représente à l’imagination, les unités arithmétiques étant figurées par des points, et chaque nombre impair, à mesure qu’il apparaît dans la série, encadrant le nombre carré qui précède pour engendrer le nombre carré qui suit :
Intelligible et réel semblent ne faire qu’un ; et en effet, dans cette construction en équerre (gnomon) la genèse et la structure des nombres, que nous continuons encore maintenant d’appeler carrés, saute immédiatement aux yeux, comme parlaient aux yeux les systèmes qui semblaient dessinés dans le ciel par les points lumineux des étoiles et que les anciens individualisaient en désignant d’un nom spécial les constellations.
Cette attention aux procédés de composition des nombres avait amené les Pythagoriciens à mettre en relief certains caractères internes qui confèrent à tel ou tel nombre un privilège de qualité. C’est une perfection de 28 ou de 496 d’être égal à la somme de ses diviseurs ou, comme on disait autrefois, de ses parties aliquotes.
496 est, lui aussi un nombre parfait :
6 pousse la perfection jusqu’à se constituer à l’aide des mêmes nombres aussi bien par le processus multiplicatif que par le processus additif : 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.
Voici maintenant deux nombres qui, par eux-mêmes, ne sauraient prétendre à la perfection, qui doivent s’associer pour y suppléer, étant égaux chacun à la somme des diviseurs de l’autre, les Pythagoriciens diront qu’ils sont des amis, tels 220 et 284. En effet : 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142, qui sont les parties aliquotes de 284 ; et 284 = 1
