moyen d’évaluer l’aire d’un grand nombre de figures rectilignes et curvilignes et les volumes d’un grand nombre de corps.
Soit par exemple un triangle : abaissons de son sommet sur la base une perpendiculaire, partageons cette perpendiculaire en une infinité de parties égales, et menons par chacun des points de division une droite parallèle à la base, et qui soit terminée par les deux autres côtés du triangle.
Suivant les principes de la géométrie des indivisibles, nous pouvons considérer l’aire du triangle comme la somme de toutes les parallèles qui en sont regardées comme les éléments : or, par la propriété du triangle, ces droites sont proportionnelles à leurs distances du sommet ; donc la hauteur étant supposée divisée en parties égales, ces parallèles croissent en progression arithmétique ou par différence, dont le premier terme est zéro.
Mais, dans toute progression par différence dont le premier terme est zéro, la somme de tous les termes est égale au dernier multiplié par la moitié du nombre de ces termes. Or, ici, la somme des termes est représentée par l’aire du triangle, le dernier terme par la base, et le nombre des termes par la hauteur. Donc l’aire de tout triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.
118. Soit une pyramide : abaissons une perpendiculaire de son sommet sur la base, partageons cette perpendiculaire en une infinité de parties égales, et par chaque point de division faisons passer un plan parallèle à la base de cette pyramide.
Suivant les principes de la géométrie des indivisibles, l’intersection de chacun de ces plans par le volume de la pyramide sera un des éléments de ce volume, et celui-ci ne sera autre chose que la somme de tous ces éléments.
Mais, par les propriétés de la pyramide, ces éléments sont entre eux comme les carrés de leurs distances au sommet. Nommant donc B la base de la pyramide, H sa hauteur, b l’un quelconque des éléments dont nous venons de parler, h sa distance au sommet et V le volume de la pyramide, on aura
