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de la méthode des indéterminés

119. Il me semble que Descartes, par sa méthode des indéterminées, touchait de bien près à l’analyse infinitésimale, ou plutôt il me semble que l’analyse infinitésimale n’est autre chose qu’une heureuse application de la méthode des indéterminées.

Le principe fondamental de la méthode des indéterminées, ou des coefficients indéterminés, consiste en ce que si l’on a une équation de cette forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+{\text{etc.}}=0$,

dans laquelle les coefficients A, B, C, etc., soient des constantes, et x une quantité variable qui puisse être supposée aussi petite qu’on le veut ; il faut nécessairement que chacun de ces ; coefficients pris séparément soit égal à zéro ; c’est-à-dire qu’on aura toujours

$\mathrm {A=0,B=0,C=0} ,{\text{etc.}}$,

quel que soit d’ailleurs le nombre des termes de cette équation.

En effet, puisqu’on peut supposer x aussi petite qu’on le veut, on pourra aussi rendre aussi petite qu’on le voudra la somme de tous les termes qui ont x pour facteur, c’est-à-dire la somme de tous les termes qui suivent le premier. Donc ce premier terme A diffère aussi peu qu’on le veut de 0 ; mais A, étant une constante, ne peut différer aussi peu qu’on le veut de 0, puisqu’alors elle serait variable : donc elle ne peut être que 0 : donc on a déjà $\mathrm {A} =0$ ; il reste donc

$\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+{\text{etc.}}=0$,

Je divise tout par x, et j’ai

$\mathrm {B} +\mathrm {C} x+\mathrm {D} x^{2}+{\text{etc.}}=0$,

d’où l’on tire $\mathrm {B} =0$, par la même raison qu’on a donnée pour prouver qu’on avait $\mathrm {A} =0$. Le même raisonnement prouvera qu’on a pareillement

$\mathrm {C} =0,\mathrm {D} =0,{\text{etc.}}$.