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rait ne pourrait être qu’extrêmement petite, et ne mériterait pas qu’on se mît en peine pour en connaître la valeur.

3. Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD (fig. 1).

Soient C le centre du cercle, DCB l’axe ; supposons l’abscisse $\mathrm {DP} =x$, l’ordonnée correspondante $\mathrm {MP} =y$, et soit TP la sous-tangente cherchée.

Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d’un très grand nombre de côtés ; soit MN un de ces côtés, prolongeons-le jusqu’à l’axe : ce sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne ne pénétrera pas dans l’intérieur du polygone ; abaissons de plus la perpendiculaire MO sur NQ, parallèle à MP, et nommons a le rayon du cercle : cela posé, nous aurons évidemment

$\mathrm {MO:NO::TP:MP} {\text{ ou }}{\frac {\mathrm {MO} }{\mathrm {NO} }}={\frac {\mathrm {TP} }{y}}$.

D’une autre part, l’équation de la courbe étant pour le point M, $yy=2ax-xx$, elle sera pour le point N

$(y+\mathrm {NO} )^{2}=2a(x+\mathrm {MO} )=(x+\mathrm {MO} )^{2}$ ;

ôtant de cette équation la première, trouvée pour le point M, et réduisant, on a :

${\frac {\mathrm {MO} }{\mathrm {NO} }}={\frac {2y+\mathrm {NO} }{2a-2x-\mathrm {MO} }}$

égalant donc cette valeur de $\mathrm {\frac {MO}{NO}}$ à celle qui a été trouvée ci-dessus, et multipliant par $y$, il vient

$\mathrm {TP} ={\frac {y\,(2y+\mathrm {NO} )}{2a-2x-\mathrm {MO} }}$.

Si donc MO et NO étaient connues, on aurait la valeur cherchée de TP ; or ces quantités MO, NO sont très-petites, puisqu’elles sont moindres chacune que le côté MN, qui, par hypothèse, est lui-même très-petit. Donc (2) on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par comparaison aux quantités