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formule qui est en effet celle que l’on trouve directement dans ce cas par la synthèse.

Représentons en général par siv et cov le sinus verse et le cosinus verse d’un arc quelconque ; on aura pour l’équation du cercle

$(1+\operatorname {siv} )^{2}+(1-\operatorname {cov} )^{2}=1$ ;

et cette équation s’applique immédiatement à tous les points de la circonférence : nous pouvons donc nous en servir pour donner à la formule (A) trouvée ci-dessus, toute la généralité dont elle est susceptible. Car si on élimine les sinus et les cosinus pour y faire entrer les sinus verse et cosinus verse, on aura

${\begin{aligned}1-\operatorname {siv} (a+b)&=(1-\operatorname {siv} a)(1-\operatorname {siv} b)\\&-(1-\operatorname {cov} a)(1-\operatorname {cov} b)\,,\ldots \end{aligned}}$

(C)

formule qui est immédiatement applicable aux quatre régions de la circonférence, sans aucune modification.

Pour le premier quadrans, comme on a

$\operatorname {siv} (a+b)<1,\operatorname {siv} a<1,\operatorname {siv} b<1,\operatorname {cov} a<1,\operatorname {cov} b<1$,

la formule entre les sinus et cosinus redeviendra la formule (A) elle-même. Pour le second quadrans, en supposant $(a+b)$ plus grand que le quart de circonférence, mais a et b chacun moindre, on aura

$\operatorname {siv} (a+b)>1,\operatorname {siv} a<1,\operatorname {siv} b<1,{\text{etc.}}$ ;

donc la formule deviendra

${\begin{aligned}-[(\operatorname {siv} (a+b)-1]&=(1-\operatorname {siv} a)(1-\operatorname {siv} b)\\&-(1-\operatorname {cov} a)(1-\operatorname {cov} b),\end{aligned}}$

ou, en rétablissant les sinus et cosinus, et réduisant,

$\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$ ;

équation conforme à la formule (B).

On doit donc regarder les formules (A) et (B) comme relatives à des cas particuliers et comme dérivées d’une même formule générale qui les comprend toutes ; c’est la formule (C), et lorsque dans, l’usage habituel on emploie l’une de ces formules particulières, telles que (A) comme générale, on ne