soit EpqF. La propriété principale de cette cycloïde est que pour un point quelconque m, la portion mp de l’ordonnée, comprise entre la courbe et la circonférence génératrice, est égale à l’arc Ep de cette circonférence.
Cela posé, menons au point p de cette même circonférence une tangente pT, et proposons-nous de trouver le point T où cette tangente sera rencontrée par celle mT de la cycloïde.
Pour cela, je mène une nouvelle ordonnée nq infiniment proche de la première mp, et par le point m je mène mr parallèle au petit arc pq, que je considère, ainsi que mn, comme une ligne droite.
Il est clair alors que les deux triangles mnr, Tmp seront semblables, et que par conséquent nous aurons . Mais puisque par la propriété de la cycloïde on a et , on aura, en retranchant la seconde de ces équations de la première, , ou , ou . Donc, à cause de la proportion trouvée ci-dessus, on aura , ou , c’est-à-dire que la sous-tangente Tp est toujours égale à l’arc correspondant Ep. Or, comme cette proposition est dégagée de toute considération de l’infini, elle est nécessairement et rigoureusement exacte.
problème ii.
40. Prouver que deux pyramides de mêmes bases et de même hauteur sont égales en volume.
Concevons les deux pyramides proposées partagées en un même nombre de tranches infiniment minces parallèlement à leurs bases, et d’épaisseurs respectivement égales. Comparons deux des tranches correspondantes, prises l’une dans la première et l’autre dans la seconde de ces pyramides. Or je dis d’abord que ces deux tranches ne peuvent différer qu’infiniment peu l’une de l’autre.
En effet, chacune de ces tranches est elle-même une pyramide tronquée, et si de tous les angles de la plus petite de ces deux bases on conçoit des parallèles qui aillent rencontrer la plus grande, il est clair que le tronc de pyramide se trouvera décomposé en deux parties, l’une prismatique, comprise entre ces parallèles, ayant pour épaisseur la distance des deux
