les vitesses acquises depuis l’instant où la vitesse était 0, sont proportionnelles aux temps écoulés depuis la même époque. Si donc l’on nomme v cette vitesse, t le temps, et E l’espace parcouru ; et que pour un autre instant on nomme v’ la vitesse, t’ le temps écoulé, et E’ l’espace, on aura, par hypothèse, ; et il s’agit de prouver qu’on a .
Considérons la vitesse comme croissant par des degrés infiniment petits et égaux, et soit p l’augmentation infiniment petite qu’elle reçoit à chaque fois. Cette vitesse sera donc successivement depuis le commencement 0, p, 2p, 3p, 4p, ainsi de suite, selon les termes de la progression par différence croissante, dont le premier terme est 0 et la raison p.
Nommons q l’intervalle de temps infiniment petit qui s’écoule d’un accroissement de la vitesse à l’autre. Ces accroissements étant égaux, et les temps étant proportionnels aux vitesses, l’intervalle q sera toujours le même, et pendant cet intervalle la vitesse étant regardée comme uniforme, les espaces parcourus successivement seront 0, pq, 2pq, 3pq, etc., aussi selon les termes d’une progression par différence. Donc l’espace total parcouru, c’est-à-dire la somme des espaces parcourus à chaque instant, sera la somme de tous les termes de cette progression.
Or la somme de tous les termes d’une progression par différence, dont le premier terme est 0, se trouve en multipliant le dernier terme par la moitié du nombre des termes. Mais le temps total t est évidemment égal au petit temps q multiplié par le nombre des termes moins un ; si donc on nomme n ce nombre de termes, on aura
ou en négligeant dans le numérateur q comme infiniment petit à l’égard de t, on aura ; donc la vitesse finale est , ou . Donc la somme des termes ou l’espace parcouru est , c’est-à-dire qu’on aura . Par la même raison on aura , donc ; proportion qui, étant
