culaires menées des points m, n sur cette tangente, mt le prolongement de mr jusqu’à la rencontre de qn.
Je considère la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés, et mn comme l’un de ces côtés. En imaginant la figure tourner autour de l’axe TAp, le petit trapèze pmnq engendrera un des éléments du paraboloïde, et le petit trapèze rsmn, l’élément correspondant du volume qui fait le complément de ce paraboloïde, relativement au cylindre engendré par le quadrilatère Asnq. Or je dis que ces deux éléments sont égaux entre eux.
En effet, il est clair que le premier, c’est-à-dire celui du paraboloïde, est, en négligeant les quantités qui sont infiniment petites relativement à celles qui restent, , et que l’autre élément sera .
Mais on a , et comme dans la parabole la sous-tangente est double de l’abscisse, on a aussi . Donc le second élément indiqué ci-dessus devient . Or les triangles semblables mnt, Tmp donnent, ; donc . Substituant donc cette valeur de dans l’expression précédente, elle deviendra qui est la même que celle qui a été trouvée ci-dessus pour le premier élément. Donc les deux éléments sont égaux ou diffèrent infiniment peu.
Mais comme cette égalité reste encore affectée de l’infini, j’imagine tout le paraboloïde composé de semblables éléments, et appliquant à chacun le même raisonnement que ci-dessus, je conclus que la somme de tous les éléments du paraboloïde, c’est-à-dire le volume même de ce corps, est égal à la somme des éléments du volume complémentaire, et par conséquent la moitié seulement du cylindre, proposition qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est nécessairement et parfaitement rigoureuse.
problème V.
44. Démontrer que dans le mouvement uniformément accéléré les espaces parcourus sont comme les carrés des temps, à compter de l’instant où la vitesse était 0.
Le mouvement uniformément accéléré est celui dans lequel
