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Donc réciproquement

$\int {\frac {2y^{2}dy}{p}}=\int d{\frac {2y^{2}}{3p}}={\frac {2y^{2}}{3p}}$.

(79)

Donc l’équation (B) devient

$\mathrm {AMP} ={\tfrac {2}{3}}.{\frac {y^{2}}{p}}+\mathrm {C}$,

ou, à cause de $yy=px$,

$\mathrm {AMP} ={\tfrac {2}{3}}xy+\mathrm {C} \ldots$

(C)

Mais cette équation, que je n’ai regardée jusqu’à présent que comme une équation imparfaite, se trouve ne renfermer aucune quantité infinitésimale : donc elle est devenue parfaitement rigoureuse, c’est-à-dire que l’aire de la parabole est exactement ${\tfrac {2}{3}}xy+\mathrm {C}$.

Il me reste à déterminer la constante C. Pour cela j’observe que l’origine des abscisses étant en A, si nous supposons x=0, nous aurons aussi y=0. Et comme nous cherchons l’aire totale à compter du point A, nous aurons aussi AMP = 0. Donc l’équation

$\mathrm {AMP} ={\tfrac {2}{3}}xy+\mathrm {C}$

devant avoir lieu, quelle que soit la valeur de x, donne

$0=0+\mathrm {C}$, ou $\mathrm {C} =0$.

Donc l’équation qui donne l’aire de la parabole se réduit à

$\mathrm {AMP} ={\tfrac {2}{3}}xy$.

On conçoit par cet exemple l’usage qu’on peut faire du calcul intégral, et combien il est important de rechercher les moyens de passer des équations différentielles qu’on peut avoir, trouvées par l’expression des conditions d’un problème aux équations intégrales qui peuvent en dériver.

81. Les règles du calcul intégral dérivent nécessairement de celles du calcul différentiel, qui en est l’inverse. Le détail de ces règles ne peut être l’objet d’un ouvrage tel que celui-ci. Contentons-nous d’en donner une idée. Considérons d’abord