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le cas où il n’entre qu’une seule variable dans l’expression différentielle.

Soit proposé d’intégrer le monôme $ax^{m}dx$ ; je dis qu’on aura

$\int ax^{m}dx={\frac {a{x}^{m+1}}{m+1}}$,

abstraction faite de la constante que je sous-entends pour plus de simplicité.

En effet, si l’on différentie ${\frac {a{x}^{m+1}}{m+1}}$, suivant la règle prescrite (55), on aura $ax^{m}dx$. Donc réciproquement l’intégrale de $ax^{m}dx$ est, comme nous l’avons dit, ${\frac {a{x}^{m+1}}{m+1}}$. C’est-à-dire donc qu’en général :

Pour intégrer une différentielle monôme à une seule variable il faut : 1^o. augmenter l’exposant de la variable d’une unité ; 2^o. diviser par cet exposant ainsi augmenté de l’unité, et par la différentielle de la variable.

Cette règle a lieu, soit que l’exposant soit positif ou négatif, entier ou fractionnaire.

Si la différentielle monôme avait un radical, il faudrait, pour appliquer la règle précédente, commencer par convertir ce radical en exposant fractionnaire.

82. La règle donnée ci-dessus souffre cependant une exception, dans le cas où l’on a $m=-1$, puisque alors l’intégrale deviendrait ${\frac {a}{0}}$, quantité infinie. Dans ce cas, la véritable intégrale est $a\log x$, c’est-à-dire qu’on a

$\int {\frac {adx}{x}}=a\log x$,

puisque en effet nous avons (64)

$da\log x={\frac {adx}{x}}$.

Mais il faut remarquer que pour rendre l’intégrale complète, on doit y ajouter une constante C. Ainsi l’on a réellement

$\int {\frac {adx}{x}}=a\log x+\mathrm {C}$.