87. Considérons maintenant les quantités différentielles qui renferment plusieurs variables.
Puisque pour différentier une fonction qui contient plusieurs variables, il faut différentier successivement, relativement à chacune d’elles, en regardant toutes les autres comme constantes ; réciproquement, pour intégrer une fonction différentielle à plusieurs variables, il faut d’abord n’en considérer qu’une comme variable, intégrer par conséquent comme si toutes les autres étaient constantes et que leurs différentielles fussent 0 ; l’intégrale ainsi trouvée, on la différentie, par rapport à toutes les variables, pour savoir si la différentielle ainsi trouvée est identique avec la proposée. Si elle l’est, l’intégrale est juste, et il n’y a plus qu’à y ajouter une constante ; si elle ne l’est pas, en ôtant de la proposée celle qu’on a trouvée, il restera une quantité que l’on intégrera, pour la joindre avec ce qu’on a déjà.
88. Soit, par exemple, proposé d’intégrer la différentielle
J’intègre en regardant x seule comme variable, et par conséquent comme si y était constante, et que dy fût égale à 0 ; j’ai par ce moyen . Cette quantité différentiée en faisant varier x et y me donne
qui est la même chose que la proposée. J’en conclus que l’intégrale cherchée est réellement
plus une constante.
Soit proposé d’intégrer
J’intègre en regardant x seule comme variable, et par conséquent dy et dz comme nulles. J’aurai
