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et que l’on fasse les opérations indiquées, on trouvera, abstraction faite de la constante,

$\int (a+bx^{2})^{\frac {4}{5}}x^{3}dx={\frac {1}{2b^{2}}}(a+bx^{2})^{\frac {4}{5}}+1\times \left[{\frac {5}{14}}(a+bx^{2})-{\frac {5}{9}}a\right]$.

86. Lorsque les quantités différentielles à une seule variable ne sont pas comprises dans la règle que nous venons d’expliquer, ou dans les cas qui en dérivent, comme on vient de le voir, on tâche de les y ramener par diverses transformations. Lorsqu’on ne peut y réussir, on réduit les expressions proposées en séries, qui forment des suites infinies de monômes, et l’on intègre ainsi par approximation.

Soit maintenant proposé d’intégrer $dz\cos z$.

Je dis que l’on aura

$\textstyle \int dz\cos z=\sin z+\mathrm {C}$,

C étant la constante qu’on doit ajouter à toute intégrale.

En effet, en différentiant $\sin z+\mathrm {C}$, suivant la règle prescrite (65), on aura $dz\cos z$ ; donc réciproquement l’intégrale de

$dz\cos z$ est $\sin z+\mathrm {C}$.

Pareillement on aura, en général,

$\textstyle \int dz\cos mz={\frac {1}{m}}\sin mz+\mathrm {C}$.

Soit proposé d’intégrer $dz\sin mz$. On aura

$\textstyle \int dz\sin mz=-{\frac {1}{m}}\cos mz+\mathrm {C}$.

car en différentiant cette équation (65), on retombe sur une équation identique.

Soit proposé d’intégrer $dz\sin z^{n}$. Je remarque que $dz\cos z$ est la différentielle de $\sin z$ ; donc cette intégration rentre dans la règle générale des monômes, qui donne

${\frac {1}{n+1}}\sin z^{n+1}$.