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en supposant pour plus de simplicité les coordonnées rectangulaires.

Pour trouver l’aire d’une courbe, nous la considérons comme formée en croissant continuellement par l’addition successive des petits trapèzes mixtilignes, compris entre les ordonnées consécutives qui répondent aux accroissements infiniment petits de l’abscisse, de sorte que le dernier de ces petits trapèzes est la différentielle de l’aire cherchée, et celle-ci l’intégrale de cette différentielle.

Nommant donc Z l’aire cherchée, dZ sera la valeur du dernier petit trapèze mixtiligne.

Or, d’un autre côté, si nous négligeons le petit triangle mixtiligne compris entre l’arc de la courbe et les petites lignes dx, dy lequel est visiblement infiniment petit à l’égard de ce trapèze, l’aire de celui-ci se réduira au rectangle qui a pour base y et pour hauteur dx, c’est-à-dire à ydx.

Donc, pour toute courbe, nous aurons l’équation imparfaite

$d\mathrm {Z} =ydx$,

et par conséquent aussi

$\textstyle \mathrm {Z} =\int ydx\ldots$

(A)

Mais dans le cas présent nous avons par hypothèse

$y=(x+a)^{\frac {1}{m}}$ ;

substituant cette valeur de y dans l’équation (A), nous aurons la nouvelle équation imparfaite,

$d\mathrm {Z} =(x+a)^{\frac {1}{m}}dx$,

laquelle étant intégrée donne

$\mathrm {Z} ={\frac {m}{m+1}}(x+a)^{\frac {m+1}{m}}+\mathrm {C}$,

équation qui, étant dégagée de toute considération de l’infini, est rigoureusement exacte.

91. Soit proposé de rectifier la courbe qui a pour équation

$y^{3}=ax^{2}$,

en supposant les coordonnées rectangulaires.