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Pour rectifier une courbe, nous la considérons comme un polygone d’une infinité de côtés, et nous la supposons formée, en croissant continuellement par l’addition successive de ces petits côtés, à mesure que l’abscisse augmente elle-même ; de sorte que le dernier de ces petits côtés est la différentielle de l’arc cherché, et celle-ci l’intégrale de cette différentielle.

Nommant donc s l’arc cherché, ds sera le dernier des petits côtés du polygone ; et comme ce petit côté est l’hypoténuse du triangle qui a dx et dy pour ses autres côtés, on aura pour toute courbe l’équation imparfaite

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$ ;

je dis équation imparfaite, parce qu’en considérant la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés, on commet une erreur, mais cette erreur peut être supposée aussi petite qu’on le veut ; donc on a aussi l’équation imparfaite

$s=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\ldots$

(A)

Mais dans le cas présent, nous avons par hypothèse

$y^{3}=ax^{2}$,

d’où l’on tire

$x={\frac {y^{\frac {3}{2}}}{a^{\frac {1}{2}}}}$,

et en différentiant,

$dx={\frac {3y^{\frac {1}{2}}dy}{2a^{\frac {1}{2}}}}$ ;

donc

$dx^{2}={\frac {9ydy^{2}}{4a}}$.

Substituant cette valeur de $dx^{2}$ dans la formule (A), nous aurons

$s=\int dy\left({\frac {9y}{4a}}+1\right)^{\frac {3}{2}}$,