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méthodes différentes la fonction $\varphi (x),$ et soient.

${\begin{array}{llllll}a_{0},&a_{1}x,&a_{2}x^{2},&\ldots ,&a_{n}x^{n},\ldots ,\\b_{0},&b_{1}x,&b_{2}x^{2},&\ldots ,&b_{n}x^{n},\ldots \end{array}}$

les deux développements, c’est-à-dire deux séries dont chacune, étant convergente pour des valeurs de $x$ différentes de zéro, ait pour somme, tant qu’elle demeure convergente, la fonction $\varphi (x).$ Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très petites valeurs numériques de $x,$ on aura, pour de semblables valeurs,

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots =b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots .$

Comme, en faisant évanouir $x,$ on tire de l’équation précédente

$a_{0}=b_{0},$

il en résulte qu’on peut la réduire généralement à

$a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots =b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots$

ou, ce qui revient au même, à

$x(a_{1}+a_{2}x+\ldots )=x(b_{1}+b_{2}x+\ldots ).$

Si l’on multiplie par ${\frac {1}{x}}$ les deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante

$a_{1}+a_{2}x+\ldots =b_{1}+b_{2}x+\ldots ,$

qui devra encore subsister pour de très petites valeurs numériques de la variable $x,$ et de laquelle on conclura, en posant $x=0,$

$a_{1}=b_{1}.$

En continuant de même, on ferait voir que les constantes $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ sont respectivement égales aux constantes $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,$ d’où il suit que les deux développements de la fonction $\varphi (x)$ sont identiques.

Le Calcul différentiel fournit des méthodes très expéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces