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méthodes, et nous nous bornerons pour l’instant à faire connaitre, avec le développement de la fonction $(1+x)^{\mu },$ dans laquelle $\mu$ désigne une quantité quelconque, deux autres développements que l’on ramène facilement au premier, savoir, ceux des fonctions

$\mathrm {A} ^{x}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {L} (1+x),$

$\mathrm {A}$ désignant une constante positive, et $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans un système choisi à volonté. En conséquence, nous allons résoudre l’un après l’autre les trois problèmes qui suivent :

Problème I. — Développer, lorsque cela se peut, la fonction

$(1+x)^{\mu }$

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$

Solution. — Si d’abord on suppose $\mu =m,$ $m$ désignant un nombre entier quelconque, on aura, par la formule de Newton,

$(1+x)^{m}=1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{1.2}}x^{2}+\ldots .$

La série dont la somme constitue le second membre de cette formule est toujours composée d’un nombre fini de termes ; mais, si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une quantité quelconque $\mu ,$ la nouvelle série que l’on obtiendra, savoir

(5)

$1,\quad {\frac {\mu }{1}}x,\quad {\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2},\quad \ldots ,$

se trouvera composée en général d’un nombre indéfini de termes, et sera convergente seulement pour des valeurs numériques de $x$ inférieures à l’unité. Soit, dans cette hypothèse, $\varphi (\mu )$ la somme de la nouvelle série, en sorte qu’on ait

(15)

$\varphi (\mu )=1+{\frac {\mu }{1}}x+{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2}+\ldots \quad (x=-1,\quad x=+1).$

En vertu du théorème I (§ I), $\varphi (\mu )$ sera fonction continue de la va-