On peut remarquer encore que, si l’on prend , on tirera de la quatrième formule, à cause de , ou, en faisant, pour abréger, , Ainsi, pour passer du système de logarithmes dont la base est à celui dont la base est , il suffit de multiplier les logarithmes pris dans le premier système par un certain coefficient égal au logarithme de pris dans le second système.
Les logarithmes dont nous venons de parler sont ceux qu’on nomme logarithmes réels, parce qu’ils se réduisent toujours à des quantités positives ou négatives. Mais, outre ces quantités, il existe des expressions imaginaires qui ont également reçu, à cause de leurs propriétés, le nom de logarithmes. Nous renvoyons sur ce sujet au Chapitre IX, dans lequel nous avons exposé la théorie des logarithmes imaginaires.
Nous avons remarqué dans les Préliminaires qu’une longueur comptée sur une ligne droite ou courbe peut être représentée tantôt par un nombre, tantôt par une quantité, suivant qu’on a simplement égard à la mesure de cette longueur, ou qu’on la considère comme devant être portée sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, à partir d’un point fixe que l’on nomme origine, pour servir soit à l’augmentation, soit à la diminution d’une autre longueur constante aboutissant à ce point. Nous avons ajouté que, dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on fixe ordinairement l’origine des arcs à l’extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et que, à partir de cette origine, les arcs se comptent positivement ou négativement suivant que, pour les décrire, on commence par s’élever au-dessus d’elle ou par s’abaisser au-dessous. Enfin, nous avons indiqué les origines de plusieurs lignes trigonométriques qui correspondent à ces mêmes arcs dans le cas où le rayon du cercle se réduit à l’unité. Nous allons revenir un instant sur cet objet et compléter les notions qui s’y rapportent.
D’abord on établira facilement, à l’égard des longueurs comptées sur une même ligne droite ou courbe à partir d’une origine donnée, les propositions suivantes :
