Page:Cauchy - Œuvres complètes, 1882, Série 2, Tome 8.djvu/425

des observations faites à la page 379, on pourra immédiatement transformer celles des équations de l’avant-dernier article qui déterminent les valeurs de $w_{0}x,\eta _{0}$ relatives à l’équilibre d’une lame élastique droite ou courbe d’épaisseur constante ou variable, de manière à obtenir les équations qui fourniraient les valeurs de $\xi _{0,0},\eta _{0,0}$ relatives à l’équilibre d’une verge élastique et rectangulaire, pourvu que cette lame et cette verge, prises dans l’état naturel et coupées par le plan des $x,y,$ offrent toutes deux la même section. Si, pour plus de simplicité, on suppose les différentes faces de la verge élastique soumises dans tous leurs points à une seule pression extérieure, on devra réduire ${\mathcal {P}}$ à $\mathrm {P} ,$ et alors, pour effectuer la transformation dont il s’agit, il suffira de remplacer dans les formules (60), (61), (62), (67), (68), (69), (71), (72), (99), (100), etc. de l’avant-dernier article, $\xi _{0},\eta _{0}\,;$ $\mathrm {X_{0},X_{1}} \,;$ $\mathrm {Y_{0},Y_{1},Y_{2}}$ par $\xi _{0,0},\eta _{0,0}\,;$ $\mathrm {X_{0,0},X_{1,0}} \,;$ $\mathrm {Y_{0,0},Y_{1,0},Y_{2,0}} ,$ $\mathrm {K}$ par ${\frac {\theta -1}{\theta }}\mathrm {K} ,$ $\theta$ par $\theta +1,$ enfin $\mathrm {P}$ par $\mathrm {P} +\Pi ={\frac {\theta -1}{\theta }}\mathrm {P} ,$ la valeur de $\Pi$ étant $-{\frac {\mathrm {P} }{\theta }}.$ Donc, si l’on considère l’équilibre d’une verge rectangulaire, qui, dans l’état naturel, étant droite et d’une épaisseur constante, aurait pour axe l’axe des $x,$ les déplacements d’un point de l’axe, mesurés parallèlement aux coordonnées $x$ et $y,$ seront déterminés par les équations

(6)

$\Omega ^{2}{\frac {d^{2}\xi _{0,0}}{dx^{2}}}+\mathrm {X} _{0,0}=0,$

(7)

$\Omega ^{2}{\frac {h^{2}}{3}}{\frac {d^{4}\eta _{0,0}}{dx^{4}}}=\mathrm {Y} _{0,0}+{\frac {h^{2}}{6}}\left(\mathrm {Y} _{2,0}+2{\frac {d\mathrm {X} _{1,0}}{dx}}\right),$

dans lesquelles

$\mathrm {X} _{0,0},\quad \mathrm {X} _{1,0}\,;\qquad \mathrm {Y} _{0,0},\quad \mathrm {Y} _{2,0}$

désigneront les valeurs de

$\mathrm {X} ,\quad {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\,;\qquad \mathrm {Y} ,\quad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial y^{2}}},$

correspondantes au point dont il s’agit, et $\Omega$ une quantité propre à vérifier, non plus la formule (62) de la page 303, mais la suivante

$\Omega ^{2}=\left(\theta +1-{\frac {1}{\theta +1}}\right){\frac {\theta -1}{\theta }}{\frac {\mathrm {K} }{\rho }},$