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trice pourra être représentée par les formules (21) et (18) du § I, desquelles on tirera

(16)

$\cos \alpha dx+\cos \beta dy+\cos \gamma dz=0$

et

(17)

$\cos \mathrm {L} dx+\cos \mathrm {M} dy+\cos \mathrm {N} dz=0.$

Si, d’ailleurs, on combine l’équation (17) avec la formule (19) du § I, on trouvera

(18)

$\left\{{\begin{aligned}&\left[(y-y_{0})\cos \gamma -(z-z_{0})\cos \beta \right]dx\\+&\left[(z-z_{0})\cos \alpha -(x-x_{0})\cos \gamma \right]dy\\+&\left[(x-x_{0})\cos \beta -(y-y_{0})\cos \alpha \right]dz=0.\end{aligned}}\right.$

Or on conclura des équations (16) et (18), substituées à la formule (4) et combinées avec l’équation (1): 1^o en éliminant la différentielle $dz,$

(19)

$(\cos \alpha +p\cos \gamma )dx+(\cos \beta +q\cos \gamma )dy=0$

et

(20)

$\left\{{\begin{aligned}&\left\{(y-y_{0})\cos \gamma -(z-z_{0})\cos \beta +p\left[(x-x_{0})\cos \beta -(y-y_{0})\cos \alpha \right]\right\}dx\\+&\left\{(z-z_{0})\cos \alpha -(x-x_{0})\cos \gamma +q\left[(x-x_{0})\cos \beta -(y-y_{0})\cos \alpha \right]\right\}dy=0\,;\end{aligned}}\right.$

2^o en éliminant les différentielles $dx$ et $dy,$

(21)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(y-y_{0})\cos \gamma -(z-z_{0})\cos \beta +p\left[(x-x_{0})\cos \beta -(y-y_{0})\cos \alpha \right]}{\cos \alpha +p\cos \gamma }}\\&\quad ={\frac {(z-z_{0})\cos \alpha -(x-x_{0})\cos \gamma +q\left[(x-x_{0})\cos \beta -(y-y_{0})\cos \alpha \right]}{\cos \alpha +q\cos \gamma }}.\end{aligned}}\right.$

Telle est l’équation aux différences partielles de la surface conoïde. Au reste, cette même équation peut être présentée sous une forme plus simple, que nous allons faire connaître.

Si l’on élimine $dz\,:$ 1^o entre les équations (16) et (17); 2^o entre les équations (1) et (17), on trouvera

$\left(\cos \alpha \cos \mathrm {N} -\cos \gamma \cos \mathrm {L} \right)dx+\left(\cos \beta \cos \mathrm {N} -\cos \gamma \cos \mathrm {M} \right)dy=0,$