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et

$(\cos \mathrm {L} +p\cos \mathrm {N} )dx+(\cos \mathrm {M} +q\cos \mathrm {N} )dy=0\,;$

puis on en conclura

(22)

${\frac {\cos \alpha \cos \mathrm {N} -\cos \gamma \cos \mathrm {L} }{\cos \mathrm {L} +p\cos \mathrm {N} }}={\frac {\cos \beta \cos \mathrm {N} -\cos \gamma \cos \mathrm {M} }{\cos \mathrm {M} +p\cos \mathrm {N} }}.$

D’ailleurs, les fractions que renferment les deux membres de la formule (22) étant égales, on obtiendra encore une fraction équivalente à chacune d’elles si l’on divise la somme de leurs numérateurs par la somme de leurs dénominateurs, après avoir multiplié les deux termes de la première par $\cos \alpha ,$ et les deux termes de la seconde par $\cos \beta ,$ ou bien les deux termes de la première par $x-x_{0},$ et les deux termes de la seconde par $y-y_{0}.$ Cela posé, on tirera de la formule (22), en ayant égard aux équations (17) et (18) du § I,

(23)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma }{p\cos \alpha +q\cos \beta -\cos \gamma }}\\&\qquad {\frac {(x-x_{0})\cos \alpha +(y-y_{0})\cos \beta +(z-z_{0})\cos \gamma }{p(x-x_{0})+q(y-y_{0})-(z-z_{0})}},\end{aligned}}\right.$

ou, ce qui revient au même,

(24)

$\left\{{\begin{aligned}&p(x-x_{0})+q(y-y_{0})-(z-z_{0})\\&\quad =(p\cos \alpha +q\cos \beta -\cos \gamma )\\&\qquad \qquad \times \left[(x-x_{0})\cos \alpha +(y-y_{0})\cos \beta +(z-z_{0})\cos \gamma \right].\end{aligned}}\right.$

Telle est, sous la forme la plus simple, l’équation aux différences partielles de la surface conoïde. J’ajouterai que, pour établir directement cette équation, il suffirait de projeter la distance du point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ au point $(x,y,z)\,:$ 1^o sur l’axe de la surface conoïde ; 2^o sur la normale menée à la surface par le point $(x,y,z),$ et d’observer que la seconde projection, devant être égale en longueur à la perpendiculaire abaissée du point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ sur le plan tangent, a nécessairement pour mesure le produit de la première projection par le cosinus de l’angle aigu compris entre la normale et l’axe.

Dans le cas particulier où l’on suppose $\alpha ={\frac {\pi }{2}},\beta ={\frac {\pi }{2}},\gamma =0,x_{0}=0,$