(3i5)
Mais les relations, telles que (9), ne permettent pas de prendre u, fi.’, .-MP- (n-,) arbitrairement ; il faudra, entre autres conditions, que les nombres complexes fjf", fi"", (i’" n vérifient l’équation
(il) fi/ +fl" =Z { [J.".
Or, pour que cette équation (1 1) fût possible, il faudrait nécessairement que la somme des n tem " puissances des nombres complexes u/ et ju.’" fût divisible par z’"~*~ l, ce qui est impossible. On démontre d’ailleurs que z, = r-f- r (n,) ne peut être la n, ème puissance d’un nombre complexe. Il est donc impossible de satisfaire à l’équation
(12) A n + B n = C n
en prenant pour A, B, C des nombres complexes de la forme (1).
Toutefois, le cas de ra=3 échappe à ce genre de démonstration, car alors il n’y a qu’une seule valeur de z, -, laquelle est — 1, et tout le système des équations (6), exprimé en p, , fx’, u.", se réduit à l’équation nnique
(i3). |X 3 + f/ 8 + |x" 3 =o ;
en sorte que l’impossibilité de l’équation (i 2), dans le cas particulier de n = 3. exige que l’on ait recours à l’ancien mode de démonstration.
Le théorème de Fermât, pour «>3, n’est qu’un cas particulier de celui qui vient d’être démontré ; car si AetB sont des entiers, ou s’ils se réduisent à a, 13, M sera entier, ainsi que C, k, fx ; maisfjt.’, fj.", ..., ^"’^ seront toujours des nombres complexes : seulement, leur produit devra être un module entier, c’est-à-dire quefA, fx’, ..., fx (" ,) devront être les sôus-factenrsd’un nombre entier de la forme Y 2 ± :«Z 2 ; enfin, les relations telles que (1 1) seront encore nécessaires, et la conclusion d’impossibilité sera la même, »>
Observations de M. Liouville.
« Dans la communication qu’il vient de faire à l’Académie, M. Lamé a bien voulu déclarer qu’il a suivi une idée dont je lui avais fait part autrefois : celle d’introduire des nombres complexes dérivés de l’équation binôme r" — 1 = o dans la théorie de l’équation x" — j n =z", pour essayer d’en conclure l’impossibilité de cette dernière équation, soit eu nombres entiers ordinaires, soit même en nombres complexes de la forme indiquée. Une telle idée n’a rien de neuf en soi, et a dû se présenter naturel-
