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mouvement sensible, qui cependant, dans mes expériences, ne s’éleva pas à 1 degré… (Zantedeschi, Annali di Fisica, p. 134-139 ; Padoue, imprimerie de A. Sicca ; 1849-1850.) »

GÉOMÉTRIE. — Note sur quelques propriétés générales des surfaces courbes ; par M. E. Roger.

« Parmi les propriétés des surfaces continues, on n’en connaît qu’un très-petit nombre qui soient absolument indépendantes de la nature particulière de la surface à laquelle elles se rapportent. À ce titre, je demande à l’Académie la permission d’énoncer ici les théorèmes suivants, qui présentent précisément ce degré de généralité.

» i. Imaginons qu’on ait tracé, autour d’un point quelconque $\mathrm {M}$ d’une surface, toutes les sections normales, et qu’on leur ait donné une même longueur infiniment petite $l$ ; les extrémités de ces lignes, projetées sur le plan tangent en $\mathrm {M}$, formeront une courbe fermée $\Sigma$. Une autre courbe fermée $\Sigma '$ peut s’obtenir en projetant, sur le même plan tangent, la série des points situés, sur la surface, à la même distance $l$ du point central $\mathrm {M}$. Cela posé, en désignant respectivement par $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$, $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ les périmètres et les aires des deux courbes $\Sigma$ et $\Sigma '$, et par $\mathrm {L} _{0}$ et $\Sigma _{0}$ le périmètre et l’aire d’un cercle de rayon $l$, on aura, quelle que soit la longueur infinitésimale $l$,

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{0}-4\mathrm {L} '+3\mathrm {L} &=0,\\\mathrm {S} _{0}-4\mathrm {S} '+3\mathrm {S} &=0.\end{aligned}}$

» Ces relations se réduisent à des identités lorsque la surface est plane, puisque, dans ce cas, on a

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{0}&=\mathrm {L} =\mathrm {L} ',&\mathrm {S} _{0}&=\mathrm {S} =\mathrm {S} '.\end{aligned}}$

» La démonstration des deux théorèmes qu’expriment les équations précédentes est extrêmement simple lorsque le point $\mathrm {M}$ appartient à une sphère. Dans le cas le plus général, on y parvient sans difficulté en se servant de coordonnées curvilignes convenablement choisies.

» ii. Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les rayons principaux de la surface au point $\mathrm {M}$ ; les différences $\mathrm {L} _{0}-\mathrm {L} ,$ $\mathrm {S} _{0}-\mathrm {S} ,$ $\mathrm {L} _{0}-\mathrm {L} ',$ $\mathrm {S} _{0}-\mathrm {S} '$ sont proportionnelles, pour une même valeur de $l$, à la fonction $\textstyle {\frac {3\pi }{8}}\left({\frac {1}{\mathrm {A} ^{2}}}+{\frac {2}{3\mathrm {AB} }}+{\frac {1}{\mathrm {B} ^{2}}}\right),$ que nous avons désignée ailleurs^[1] sous le nom de courbure de la surface. En conséquence,

1. Comptes rendus, t. LXVIII, p. 366. — Annales des Mines, t. XIV ; 1868.