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filets rectilignes et parallèles de vitesses assez peu différentes, on pourrait, avec une certaine approximation, comme le prouvent de nombreuses expériences de M. Bazin, le supposer immobile par rapport à des axes coordonnés animés de la moyenne de ces vitesses, et rapporter les ondes à ce système d’axes.

» Les mouvements étudiés étant les mêmes sur toute la largeur du canal, il suffit de les considérer dans un plan vertical dirigé suivant sa longueur. Dans ce plan, je prendrai, suivant le sens de la propagation des ondes, le fond horizontal pour axe des $x,$ et une verticale dirigée en haut pour axe des $y\ ;$ enfin j’appellerai $\mathrm {H}$ la profondeur constante du liquide en repos, $y,$ ou $\mathrm {H} +h$ la profondeur dans les parties agitées, $h_{1}$ la valeur maximum de $h,$ valeur dont le rapport à $\mathrm {H}$ sera néanmoins supposé assez petit ; $\rho$ la densité ; $u$ et $v$ les composantes, à l’époque $t,$ de la vitesse en $(x,\,y)\ ;$ $u_{1}$ et $v_{1}$ les composantes pareilles en un point de la surface libre ; enfin $w$ la vitesse de propagation des ondes.

» Je m’occuperai d’abord des ondes solitaires, dont les caractères distinctifs sont : 1^o de produire, au moment de leur passage, des vitesses sensiblement constantes du fond à la surface, de manière que $u$ et sa dérivée en $x$ varient peu avec $y\ ;$ 2^o de parcourir de grandes distances avec une vitesse de propagation constante et sans altération notable. Il suit de ce deuxième caractère que $u,$ $v$ sont seulement fonctions de $x-wt,$ $y,$ et aussi que les frottements sont insensibles et qu’on peut s’appuyer sur les équations ordinaires de l’hydrodynamique. Comme d’ailleurs $u,$ $v$ sont nuls autour de chaque molécule avant que l’onde y passe, ils s’y trouveront, à toute époque, d’après un théorème connu de Lagrange et de Cauchy, les dérivées partielles en $x$ et $y$ d’une fonction $\varphi \ ;$ et une formule usuelle donnera, $p$ désignant l’excès de la pression en un point sur celle de l’atmosphère,

(1)

${\frac {p}{\rho }}=g\left(\mathrm {H} -y\right)-{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d\varphi ^{2}}{dy^{2}}}\right)=g\left(\mathrm {H} -y\right)-{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right).$

» Mais $u$ et $v$ n’étant fonctions que de $x-wt,$ $y,$ l’on a

(2)

${\frac {d^{2}\varphi }{dxdt}}=-w{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}},\ {\frac {d^{2}\varphi }{dtdt}}=-w{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}}\ ;$ d’où ${\frac {d\varphi }{dt}}=-w{\frac {d\varphi }{dx}}+$ fonct. arbitr. de $t.$

Cette fonction arbitraire est nulle ; car, pour $x=\infty$ et $y=\mathrm {H} ,$ $p,$ $u,$ $v$ sont nuls ; et, d’après (1), la dérivée de $\varphi$ en $t$ l’est également. Celle-ci peut donc être remplacée, dans (1), par $-wu.$ Il résulte d’ailleurs de l’incompressibilité du liquide que le volume $\textstyle \theta \int _{0}^{y_{1}}udy,$ passé à travers une section normale