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GÉOMÉTRIE. — Sur les modes de transformation qui conservent les lignes de courbure. Note de M. G. Darboux.

Dans un travail antérieur^[1] j’ai énoncé le théorème suivant :

Étant donnée une surface $\left(\Sigma \right)$, on lui adjoint une sphère fixe $\left({\rm {S}}\right)$, et l’on construit toutes les sphères tangentes à la surface et coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant $\alpha$. Par l’intersection de chacune de ces sphères et de $\left({\rm {S}}\right)$ on fait passer de nouvelles sphères coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant $\beta$. Ces nouvelles sphères enveloppent une surface $\left(\Sigma _{1}\right)$, correspondante point par point à $\left(\Sigma \right)$ avec conservation des lignes de courbure. Les points correspondants sur les deux surfaces sont sur des cercles normaux à la fois aux deux surfaces et à la sphère $\left({\rm {S}}\right)$.

Cette proposition donnait un moyen nouveau de réaliser un mode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure, auquel M. Ribaucour avait consacré quelques lignes dans une Communication faite à l’Académie en 1870 sur la déformation des surfaces. J’ajoutais le théorème suivant :

Considérons une surface $\left(\Sigma \right)$), enveloppe d’une série de sphères variables $\left({\rm {U}}\right)$ coupant sous des angles quelconques la sphère $\left({\rm {S}}\right)$. À chacune des sphères $\left({\rm {U}}\right)$ coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle que j’appelle $\varphi$ on fait correspondre une sphère $\left({\rm {U_{1}}}\right)$ passant par l’intersection de $\left({\rm {S}}\right)$

1. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. 254-255.