( 426 )
variables et , de périodes normales , , , ; désignons par une surface de Kummer correspondante.
» Supposons maintenant que les deux systèmes soient liés par une transformation du second ordre, c’est-à-dire qu’on puisse faire correspondre les variables par des relations linéaires
(1)
|
|
|
de manière qu’à un système , déterminé aux périodes près, ne réponde qu’un système analogue , et que, inversement, à un système répondent quatre systèmes . D’après la théorie générale de la transformation, ces quatre systèmes sont de la forme
(2)
|
|
|
en désignant par , et , deux demi-périodes des fonctions abéliennes en , : ces demi-périodes ne sont pas arbitraires ; les quatre quantités
(3)
|
|
|
constituent ce qu’on nomme un groupe de Göpel de demi-périodes : géométriquement, les quatre points doubles de la surface dont elles sont les arguments forment les sommets d’un tétraèdre qui n’a comme face aucun des seize plans singuliers de .
» D’après cela, à ces quatre points doubles de répond, sur , par la transformation (1), un seul et même point double, , , que nous désignerons par . De même, aux douze autres points doubles de répondent, au total, trois points doubles , , de , dont chacun correspond à quatre points doubles de , formant un groupe de Göpel. Les points , , , sont eux-mêmes, sur , les sommets d’un tétraèdre de Göpel.
» Cela posé, les relations (1) établissent entre les deux surfaces de Kummer et une correspondance , de sorte que chaque courbe algébrique tracée sur l’une des surfaces a sa correspondante algébrique sur l’autre. Or, si une courbe , tracée sur , ne se transforme pas en elle-même quand on augmente , d’une des trois demi-périodes non nulles du tableau (3), ce qui est le cas pour une courbe prise au hasard, sa correspondante , sur , sera de même genre et