76 ACADÉMIE DES SCIENCES.
respond à la circonférence de rayon t du plan des xy. Si, à partir d’une valeur t det, la transformation cesse d’être bi-univoque, S présentera au moins une boucle, c’est-à-dire un contour partiel s se fermant sur lui-même par un point anguleux unique.
Tout point double/ ? d’un contour le divise en deux boucles, l’une extérieure, c’est-à-dire telle que les points compris dans un angle au sommet ont, par rapport à S, un indice plus petit que les autres points voisins de p ; l’autre intérieure, où l’inverse a lieu.
Tout contour fermé qui a des points doubles présente au moins une boucle simple, c’esl-à-dire ne se coupant pas elle-même et délimitant, par conséquent, une aire déterminée.
6. Suivons maintenant la déformation de S. Supposons, pour simplifier, les fonctions X, Y analytiques et sans singularités réelles à distance finie. Alors les points doubles de S seront en nombre fini et ne changeront de nombre ou de disposition qu’un nombre fini de fois pour t fini.
Ces points doubles ne pourront pas, comme il arrive dans d’autres cas, naître ou disparaître par des boucles évanescenfes (lesquelles, pour se réduire à des points, devraient avoir une courbure infinie, contrairement à nos hypothèses), mais seulement par des biangles (contours fermés partiels à deux points anguleux) évanescents extérieurs ou intérieurs (au même sens que précédemment). En supprimant de S un biangle extérieur ou intérieur, il reste deux boucles intérieures dans le premier cas, extérieures dans le second.
Il résulte de là qu’un contour se déformant comme S (c’est-à-dire de. manière que les indices aillent toujours en croissant) ne peut avoir de boucle simple intérieure.
7. Prenons alors la boucle simple <7 extérieure an sens précédent, mais intérieure au sens vulgaire du mot, que présente le contour S(i). On constatera aisément que cette boucle (qui, nous l’avons vu, ne peut déjà pas disparaître en se réduisant à un point) ne peut être détruite d’aucune façon. Tous les contours successifs S (t) présenteront des boucles simples a, variant quelquefois discontinuaient, mais intérieures les unes aux autres. Dès lors il existera, dans le plan des XY, un point P intérieur à tous les contours or. Or c’est ceci qui, à l’infini, est incompatible avec la condition {m), comme on le reconnaît immédiatement en joignant P à un point de g, et considérant l’intersection (q) de la ligne ainsi obtenue avec chaque ligne 5, ainsi que l’image de q dans le plan des xy.
8. L’hypothèse de la non-analyticité de X, Y introduit une difficulté, mais toute superficielle. Les points doubles peuvent être en nombre infini
