SÉANCE DU 8 JANVIER 1906. 75
2. Pourtant, dès le cas d’une seule variable x et d’une seule fonction X=/(x), le fait que la dérivée/’ soit différente de zéro, suffisant pour l’unicité, n’assure pas à lui seul la propriété (a). Il faut encore que l’intégrale if dx soit infinie pour x = ± 00.
Dans le cas de n > 2 dimensions, il est d’ailleurs visible que le rôle de la dérivée ne doit plus être joué, à ce point de vue, par le déterminant fonctionnel, mais pur le petit axe m de l’ellipse de déformation, c’est-à-dire, pour n = 2, par la plus petite valeur du rapport
l(dX.* + dY*)(dx 2 + dy %),
celle-ci devant vérifier la condition suivante :
« Condition (m). — La quantité m ne s’annule jamais à distance finie. À l’infini, ou bien elle reste supérieure à un nombre positif fixe, ou, si elle
peut devenir infiniment petite en même temps que- (t= jx 2 -H y 3), l’intégrale Imdt est infinie. »
3. Mais, en même temps, une difficulté nouvelle apparaît en ce qui regarde la condition (b). On sait, en effet, que le non-évanouissement du déterminant ne suffit plus (pour n = 2) à assurer l’unicité dans une région finie quelconque du plan.
Les fonctions X, Y étant définies pour toutes les valeurs de a ?, y intérieures à un certain cercle C, de manière que leur déterminant fonctionnel reste toujours positif et supérieur à un nombre fixe, il peut néanmoins arriver que deux ou plusieurs systèmes de valeurs de x et de y fournissent le même système de X et de Y (’).
4. Ce fait donnera peut-être quelque intérêt à la remarque suivante : Si la condition (m) (n° 2) est vérifiée dans tout le plan ries xy, les deux
conditions (a) et (b) sont remplies : l’inversion est possible et univoque.
Ainsi, une transformation peut se comporter, à l’intérieur d’un cercle C, comme il vient d’être indiqué au n° 3 ; mais une telle transformation ne saurait être, de quelque manière que ce soit, prolongée indéfiniment en dehors de G, si l’on veut satisfaire à la condition (m) tant à distance finie qu’à l’infini.
5. La démonstration est très simple, au moins dans son principe : il suffit de suivre la déformation du contour S(/) qui, dans le plan des XY, cor (’) Voir GoukSAT, Cours d’Analyse, t. I, p. 299 ; et, à un autre point de vue, les travaux de Lipschitz, Kneser, Arzelà.