Pour qu’une forme (a, b, c) soit réduite principale, il faut et il suffit (en outre des conditions a et c impairs) que
(« + c)«— 46*<o.
Les réduites principales se groupent quatre à quatre, à savoir (a, b, c) ; (a, b, c) ; (-a, b, — c) ; (~ a, ~b, ~c), qui sont toujours distinctes ; il sera parfois utile, pour simplifier les énoncés, de n’introduire que les réduites principales où a+c > o, et qui forment la moitié du nombre total car a + c ne peut être nul.
3 Cela posé, voici une des formules auxquelles il a été fait allusion plus haut.
^Considérons les classes de formes binaires positives de discriminant 4^-t- 5 et de 1 ordre propre ; on appelle minima d’une classe les trois plus petits entiers représentables proprement par les formes de la classe : si («, P, Y) est la réduite de Gauss pour la classe, les minima sont a, y, " + Y- 2 lPl ? deux de ces nombres sont impairs, le troisième est pair. Désignons par m {, m 2 les deux minima impairs (m, <m 2) par m ie minimum pair. Un a
(0 ^
i / m.
^-a^MN + S-^
Au premier membre, la somme s’étend à toutes les classes de formes
binaires et positives de discriminant 4 N + 3 et de l’ordre propre, c’est-à-dire ou les coefficients extrêmes ne sont pas pairs à la fois. Au second membre, <|, (M) désigne la somme des diviseurs de M inférieurs à y/M et 2 P ortesur lesvale U rsentièresde^inférieures, envaIeurabsolue, à{ V, 4NT3.
Enfin (tJJt) est le symbole de Jacobi, c’est-à-dire (^l) = (- I f 1 r-Or, si Ion pose 4N +3 = 4^ + tfrf It avec d et d t positifs et d<d„ le second membre de (,) s’écrit - aXd, la somme s’étendant aux décompositions
(2)
D’autre part, à la décomposition (2), associons les deux formes (a £ c) aeiinies par v ’ v ’
(3) n — ^i — ^ a ?, — d // J,7
