Il est aisé de voir que a et c sont impairs, que b* - ac = 4N -+- 3, enfin que (a | c)2 4è" < o. D’ailleurs, a -+- c est positif.
Les deux formes (a, b, c) et (a, — è, c), ainsi introduites, sont donc des formes binaires indéfinies, distinctes, de déterminant 4N + 3, et réduites principales, pour lesquelles « + c>o. Réciproquement, à une réduite principale (a, b, c), où a -h c > o, et de déterminant 4N + 3, correspond, par (3), une et une seule décomposition (2), car le signe ± dans la dernière (3) doit être choisi de telle sorte que d, -+- d soit positif.
La relation (1) s’écrit dès lors, puisque 2c ? = 2 [ b — (a + c),
(« 2[-Gf) + -fë)H2[- + "-i’" i
la somme, au premier membre, s’étend à toutes les formes réduites de Gauss positives (ordre propre) de discriminant 4N + 3, et m, , m 2 sont les minima impairs d’une quelconque de ces réduites ; la somme, au second membre, s’étend à toutes les réduites principales indéfinies, de déterminant 4N -+■ 3, pour lesquels «H-c>o. On peut supprimer cette dernière condition et étendre la somme, au second membre, à toutes les réduites principales de déterminant 4N + 3 ; seulement, il faut remplacer le facteur par 1 et écrire | à H- c | au lieu de a -+- c.
La formule (4) donne ainsi une relation remarquable entre les coefficients des réduites, pour les formes définies et indéfinies de déterminants respectifs —(4N-+-3)et + (4N + 3).
Exemple. — Soit 4N -h 3 = 11. Pour les classes de formes positives de déterminant — 11, on. a les trois réduites de Gauss :
et les valeurs correspondantes dem„ m 2 sont respectivement 1, 11 ; 3, 5 ;
3, 5.
Le premier membre de (4) est alors 1 - 1 1 - 3 + 5 - 3 -h 5, ou - 6.
Pour les classes indéfinies de déterminant 11, les réduites principales, où a -+- c est positif, sont :
œ*± :Sïcy + 5/ 2 ; Sx*±8xy+y* ; 5a ;» ± fixy-h 5/ 2 ;
les valeurs correspondantes de a + c — ib sont —2, —2, -2, —2,
— 2, — 2, dont la demi-somme est - 6. La formule (4) est ainsi vérifiée.
