singulières indiquées par M. Humbert. Le véritable intérêt de la méthode est de fournir un procédé pour l’étude arithmétique des deux derniers cas, étude sur laquelle je me propose de revenir ultérieurement.
ANALYSE mathématique. — Sur les fonctions quasi périodiques moyennes, déduites d une fonction quasi périodique. Note de M. Ernest Esclangon, présentée par M. Emile Picard.
Une des propriétés les plus importantes des fonctions quasi périodiques est dans ce fait que, f(oc) désignant une fonction quasi périodique quelconque, l’expression
(i) ’ A*) +f(œ+b)+f(x + ad) +...-+-/[* 4. (n-i)b}
a, pour n = qo et quel que soit b, une limite atteinte uniformément, périodique et de période b. La même opération effectuée sur une fonction simplement périodique. ?, de période b, la laissé évidemment inaltérée.
La limite de l’expression (i) est susceptible d’une représentation différente. Si a n a 2, ..., a p désigne une base du corps des périodes de f(cc), on peut mettre celle-ci sous la forme d’une série
(2) /(*)=2 tj *(a ?)»
dans laquelle U^ est la somme d’un nombre fini d’expressions de la forme
(3) A cos 27î — 4- B sin 2 7T — ’■>
av.
où
cr. À L a % cij,
m (, m 2, ..., m p désignant des entiers •positifs, négatifs, non nuls à la fois. Or, dans le terme V k (jv) peuvent figurer une ou plusieurs expressions de la forme (3) dans lesquelles la période a est de k forme - (n entier), c’est-à-dire appartient au corps défini parla seule périodé /> ; soit u k (sù) là somme de ces expressions dans U k (x). La série
(5) 9(x)=2 l u k {x)
est uniformément convergente et représente la limite de V expression (i).
C. R., 1913, v Semestre. (T. 157, N°25.) l8l
