La présente Note a pour objet une généralisation de ces propriétés qui est, comme nous le montrerons ultérieurement, d’une grande importance dans l’étude des équations différentielles à coefficients quasi périodiques.
Soient a, a 2, ..., a p une base du corps des périodes de /(a ?), et b t, b 2, ..., b q, q nombres quelconques que nous appellerons aussi des périodes et dont nous envisagerons le corps défini par eux, c’est-à-dire l’ensemble des nombres [3 donnés par
(6)
I «, rt 2 rirj
(3 — b t b
2 Vf
(«, n 2, ..., n g étant entiers). Sans nuire en rien à la généralité, on peut supposer indépendantes les périodes «, a 2, ..., a p d’une part, les périodes b t, b 2, ..., b q d’autre part.
La fonction /(&}, étant quasi périodique sur le champ des périodes a a., ..., àp, .l’est aussi sur le champ défini par l’ensemble a n a., ..., a p, b, b. 2, ..., b q. Dans leur ensemble, ces périodes peuvent ne pas être indépendantes. Si q--r est l’ordre du corps qu’elles définissent, on peut établir d’abord l’existence de nombres c, c 2, ..., c r et d’un entier A tels que le champ défini par c (, c 2, ..., c r, Àè, Aè 2, ..., "kb q soit un multiple (() de celui défini par a {J a 2, ..., a p, b, b 2, ..., b q.
Dans ces conditions, f(x) est aussi quasi périodique sur le champ des périodes c, , c 2, ..., c r, ~kb, Àè 2, ..., b q et nous désignerons par ¥(x l, x î, ..., x r, y t, j 2, ..., j ç) sa fonction associée, périodique par rapport à chaque variable. •
Soit maintenant h une suite de valeurs telles que
lim [h + m 1 (lb i)1 = o
lim [h -+- m q Ckb q)] = o
lim [/ ? + /ijCj] r= o (m, «y entiers)
lim [ h -f- n, . y c, . x ] = O lira [h H- n r c r ] = £, .
La suite A est congrue à zéro suivant les périodes "kb, "kb 2, . :., ~kb q, par suite congrue à zéro suivant les périodes b n b 2, ..., b q. Les fonctions f(x -+- h) ont alors pour limite la fonction
/i(.ï’) = r (a ?, a ?, ..., a ? -1- ç r, ;», j ;, ..., *■) ;
(’) E. Esclangon, Les fonctions quasi périodiques {Annales de V Observatoire de Bordeaux, t. XII, p. 108).
