les fonctions/, (x + h) ont pour limite la fonction
et ainsi de suite. Mais l r peut être choisi arbitrairement, car les périodes c >, c», ■.-, c ri lb {, lb 2, ...., lb q sont indépendantes ; si on le choisit incommensurable avec c r, l’expression
n
a, pour n infini, une limite qui est une fonction quasi périodique ç ((*) attachée au corps des seules périodes c t, c 2, ..., Cr „ XZ>„ X6 2, ..., Xè ?.
Sur ?1 (a>) nous ferons disparaître de la même manière la période e, puis, sur la nouvelle fonction, la période c s, etc., pour arriver finalement a une fonction quasi périodique o(x) attachée au corps des seules périodes hb„lb 2, ..., Xè ? etdont nous désignerons par $(j„ Ja, ..., v)l a f onction associée.
Ceci posé, nous pouvons former une suite de nombres h tels que
liai [k-t-s^lb^] —bi Hm[A-w 2 (U 2)] =o.(*„*„....^entiers) ;
im[h + s q {lb q)1—o
La suite A est évidemment congrue à -zéro suivant les périodes b t, b, ..., V Les fonctions ç (a> + À) ont pour limite la fonction
les fonctions '> { (x -+- h) ont pour limite la fonction
^(x)=z^{x + ib u x, ..., x) ; ainsi de suite, de sorte que l’expression
<b i (x) + % (x) + ••■ + 4, i (ar)
a, pour « infini, une limite qui est une fonction quasi périodique attachée au champ des périodes*, lb 2, ..., U q. Sur cette nouvelle fonction et par le même procédé, nous ramènerons la période b 2 à la période b 2, etc., de sorte que nous arriverons finalement à une fonction quasi périodique B(x) attachée au champ des périodes b t, b a, ..., b.
