uniforme, on peut faire en sorte que les trajectoires de deux des corps aient des droites asymptotes (’).
On peut obtenir de même, dans le problème des trois corps, des trajectoires dépendant du même nombre de constantes que l’intégrale générale, et telles que, quand t croît indéfiniment, l’un des corps s’éloigne indéfiniment des deux autres, qui tendent à décrire des ellipses par rapport à leur centre de gravité •’ : les coordonnées du premier corps peuvent être mises sous la forme (a), où les A, B, G désignent des constantes et les ■£’(■£) des fonctions tendant vers zéro quand t croît indéfiniment.
2 ; Dans le problème des « corps, au voisinage de tout choc de deux
corps, les coordonnées sont représentées par des séries entières en (t — t) 3 telles que les différences des coordonnées et la distance des deux corps qui
se choquent s’annulent pour t = 1 à l’ordre ^ ; en quantités complexes, ces
développements en séries entières représentent dés intégrales des équations différentielles du problème des n corps, qui admettent le point, réel ou imaginaire, t — t comme point critique d’ordre 2, mais ils dépendent de deux constantes de moins que l’intégrale générale ; Par suite, si l’on étudie cette intégrale générale dans le plan de la variable complexe/, ce ne sont pas de tels points singuliers qui arrêtent la convergence des développements.
Les équations différentielles du problème des n corps sont vérifiées par des séries entières en jt — t, convergentes si 1 1 — t | est assez petit, dépendant du même nombre de constantes que l’intégrale générale, et telles
que pour t = t la distance r de deux des n corps s’annule à l’ordre ’-,
tandis que les différences des coordonnées de ces deux corps ne sont pas nulles : de sorte que les séries obtenues ont nécessairement des coefficients imaginaires. Dans le domaine correspondant au voisinage du point t — t^, le temps t et les coordonnées sont des fonctions holomorphes de la variable
/dt
—, comme au voisinage d’un choc réel.
(’) Les termes en B logf existent dans le mouvement hyperbolique de deux corps.
Un passage des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. III, p. 169) laisse
croire au contraire que dans ce mouvement les coordonnées de chacun des corps
< peuvent être mises sous la forme x = A t 4- C + s(t), A et G désignant des constantes
et s(t) une fonction qui tend vers zéro quand t croît indéfiniment.
