En intégrant après avoir tenu compte des équations (3), on trouve
„ /T^i(*i, «, «,) < ?iM*„ «., «,) < ?t, (*, «„ «,)d^(a ;„« >, a, n,
J L < ?* 2 d« t fo t ^ J ^i-b(3.
Si l’on pose
<te 2 £>a 3 < ?«, J^ 2 — e ^a s (^i, « 2, «,),
la quadrature peut être effectuée et il vient
(6) «1 =#â, Oi, « 2, « 3) + S.
Des intégrales (3) et (6) du système (2), on déduit l’intégrale de l’équation (E 3) : 4
( ?) "i— ^, <>'i, «’a, « 3)+x(« 2l «a).
Enjoignant à cette équation les équations (4), on obtiendra le système qui définit u iy u %, u s.
Il reste à satisfaire à l’équation (5) de la manière la plus générale, la fonction G (œ t, oc 2, oc 3) étant donnée. Or cette équation est une équation (E 2). On a donc, par application des- formules (1),
(8) ^(X u «i, «,) — 9’^ (^, «2, ^),
^Si l’on remplace 6 (*, , u 2, „ B) par 8(^ t, «„ u,) ~ f x (u 2, u a)Ju 3, l’équation (9) ne change pas et l’équation (7) devient
(,0) u i=d’„, {œ 1, u îi -u !l).
En résumé, les fonctions et © étant arbitraires, l’équation (9) définit ^„ l’équation (8) définit <|/ a, enfin u i} u a, u z sont données par les équations (4) et (10).
4. En suivant la même marche qu’au n° 3, on résoudra successivement les équations (E 4), (E 5), .... Pour résoudre l’équation (E„), on définira les fonctions m 2, ..., u n au moyen des équations
5. Les formules que nous venons d’établir fournissent la solution des problèmes suivants :
