Déterminer les transformations ponctuelles de l’espace à n dimensions admettant comme invariant intégral une intégrale rc-uple donnée. En particulier, déterminer les transformations de l’espace à n dimensions qui conservent les volumes.
Établir, entre deux surfaces données, les correspondances ponctuelles telles que, si («, y), («’, v’) sont les coordonnées curvilignes de deux points correspondants, on ait
f Cf(u, v)d<ù — I J(u’, p’)d<ù’,
dw, dv’ désignant deux éléments d’aire correspondants et F (h, y), 4>(w, v) deux fonctions données.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Intégration de l ’ équation A 2 « = ké l sur une surface fermée. Note de M. Léon Lichtens tein, présentée par M. Emile Picard.
Soit T une surface fermée régulièrement analytique quelconque dont les points sont supposés rapportés à un système de paramètres isothermiques (p, q). Soient ds le différentiel d’arc, A, u et A, u les paramètres de Beltrami ; k une fonction positive, continue avec ses dérivées premières. On a
(0
- .=p(rf, »+^), ^«^^[(gy+^y
fd’ 2 u d^u A, u = - -j-t + Tï
Dans ses célèbres travaux sur la méthode des approximations successives (Journ. de Math., 1890, 1893, 1898 ; Crelle, 190.1), M. Picard a démontré l’existence d’une solution u (p, q) de l’équation
(2) , uz=ke a,
continue sur T sauf en un nombre fini des points (p h q t) (i = 1, ..., m) où elle admet des singularités logarithmiques
1... m
(3) a, logr, rf = {p-piy+(q-qt)*, «/>-a, 2 a ’ <0 (1) (») À la vérité M. Picard, s’inspirant d’un problème posé par M. H.-A. Schwarz, a considéré une surface de Riemann ordinaire sous des conditions un peu différentes. Sa méthode s’étend d’ailleurs immédiatement au cas du texte.
