Donc, I est bornée inférieurement. Soit d la limite inférieure de l’intégrale I pour toutes les fonctions continues avec leurs dérivées des deux premiers ordres sur T et Z„(/ ?, q) (n = i, 2, ...) une suite minimisante. La détermination effective, même explicite de d et de Z n (p, q) (n = 1,2, ...) ne présente aucune difficulté. On peut utiliser, par exemple, un procédé connu de Ritz. Ce qui est essentiel pour notre méthode c’est qu’on peut supposer
(11) Z n (p, q)il, H = |log Fl |+|Iog F2 |.
Soit
(12) F(Z)=e*-|z.
On
a
(-3) § >o, Z.>lo g |, § <0, Z.dog| donc, certainement,
(14) SZ~ >0 ' Z>H > S <0 ’ Z <~ H ’ Ke — 3Z>Ke"-(3H, |Z|>H.
Dans tous les cas où Z n (p, <jr)>H, on peut diminuer I en remplaçant Z n (p, q)parB..
Soit < ?i(p, q) (1 = 1,2, ...) le système orthogonal, norme des fonctions fondamentales continues sur T et vérifiant l’équation A 2 u -+- À« — o.
Posons
1...00
(i5) z„(/ >, ?) = ^2 + V% ?/ (^, ?) (t = l’aire totale de T).
SI ? * ? Vh
On a (16) lira f f [A, Z„+2Ke z » — 2p>Z, l ]du = d ;
donc, d’après (n) et (i5),
i...« (J 7) J^~L<4> (« = 1,2, ...) ; | *, -„ | < s/rf (i, n=z 1,2, ...) (rf = const. finie).
On a de plus
(18) l*. B | = -^=
//
z„. du
T
<H/î. (n = i,2....).
